Cálculo Ejemplos

$y = 9 \sec (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 \sec (x)$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = 9 \sec (x) \tan (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 \sec (x) \tan (x)$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

$9 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 2.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$9 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 2.4

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$9 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 2.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 2.4.2

Suma $1$ y $2$ .

$9 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 2.5

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$9 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Paso 2.6

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$9 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

Paso 2.7

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$9 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

Paso 2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Paso 2.9

Suma $1$ y $1$ .

$9 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Paso 2.10

Simplifica.

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Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 \sec^{3} (x) + 9 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Paso 2.10.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = 9 \tan^{2} (x) \sec (x) + 9 \sec^{3} (x)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 \tan^{2} (x) \sec (x) + 9 \sec^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 \tan^{2} (x) \sec (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 \tan^{2} (x) \sec (x)$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \tan^{2} (x)$ y $g (x) = \sec (x)$ .

$9 (\tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.3

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$9 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 3.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (x)$ .

$9 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])) + \frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)])) + \frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (x)$ .

$9 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])) + \frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.5

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$9 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.6

Multiplica $\tan^{2} (x)$ por $\tan (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.6.1

Mueve $\tan (x)$ .

$9 (\tan (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.6.2

Multiplica $\tan (x)$ por $\tan^{2} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.6.2.1

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$9 (\tan^{1} (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 ({\tan (x)}^{1 + 2} \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$9 (\tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.7

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$9 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) {\sec (x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.9

Suma $1$ y $2$ .

$9 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + \frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 \sec^{3} (x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 \sec^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$ .

$9 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 9 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sec (x)$ .

$9 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 9 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$9 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 9 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (x)$ .

$9 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 9 (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 3.3.3

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$9 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 9 (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Paso 3.3.4

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$9 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 9 (3 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x))$

Paso 3.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 9 (3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x))$

Paso 3.3.6

Suma $1$ y $2$ .

$9 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 9 (3 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Paso 3.3.7

Multiplica $3$ por $9$ .

$9 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 27 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Paso 3.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 9 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 27 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $2$ por $9$ .

$9 \tan^{3} (x) \sec (x) + 18 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 27 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Paso 3.4.2.2

Reordena los factores de $18 \tan (x) \sec^{3} (x)$ .

$9 \tan^{3} (x) \sec (x) + 18 \sec^{3} (x) \tan (x) + 27 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Paso 3.4.2.3

Suma $18 \sec^{3} (x) \tan (x)$ y $27 \sec^{3} (x) \tan (x)$ .

$f''' (x) = 9 \tan^{3} (x) \sec (x) + 45 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 \tan^{3} (x) \sec (x) + 45 \sec^{3} (x) \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 \tan^{3} (x) \sec (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 \tan^{3} (x) \sec (x)$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x) \sec (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \tan^{3} (x)$ y $g (x) = \sec (x)$ .

$9 (\tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]) + \frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$

Paso 4.2.3

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$9 (\tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]) + \frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$

Paso 4.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 4.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (x)$ .

$9 (\tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])) + \frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$

Paso 4.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$9 (\tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])) + \frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$

Paso 4.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (x)$ .

$9 (\tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])) + \frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$

Paso 4.2.5

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$9 (\tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$

Paso 4.2.6

Multiplica $\tan^{3} (x)$ por $\tan (x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.6.1

Mueve $\tan (x)$ .

$9 (\tan (x) \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$

Paso 4.2.6.2

Multiplica $\tan (x)$ por $\tan^{3} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.6.2.1

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$9 (\tan^{1} (x) \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$

Paso 4.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 ({\tan (x)}^{1 + 3} \sec (x) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$

Paso 4.2.6.3

Suma $1$ y $3$ .

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$

Paso 4.2.7

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$

Paso 4.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$

Paso 4.2.9

Suma $1$ y $2$ .

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + \frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [45 \sec^{3} (x) \tan (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Como $45$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $45 \sec^{3} (x) \tan (x)$ con respecto a $x$ es $45 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x) \tan (x)]$ .

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x) \tan (x)]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sec^{3} (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 (\sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)])$

Paso 4.3.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)])$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sec (x)$ .

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Paso 4.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Paso 4.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (x)$ .

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Paso 4.3.5

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))))$

Paso 4.3.6

Multiplica $\sec^{3} (x)$ por $\sec^{2} (x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.6.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 ({\sec (x)}^{3 + 2} + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))))$

Paso 4.3.6.2

Suma $3$ y $2$ .

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 (\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))))$

Paso 4.3.7

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 (\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x)))$

Paso 4.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 (\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x)))$

Paso 4.3.9

Suma $1$ y $2$ .

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 (\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 \sec^{3} (x) \tan (x)))$

Paso 4.3.10

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)))$

Paso 4.3.11

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)))$

Paso 4.3.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) {\tan (x)}^{1 + 1})$

Paso 4.3.13

Suma $1$ y $1$ .

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x))$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x)) + 9 (3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x))$

Paso 4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (\tan^{4} (x) \sec (x)) + 9 (3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 \sec^{5} (x) + 45 (3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x))$

Paso 4.4.3

Combina los términos.

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Paso 4.4.3.1

Multiplica $3$ por $9$ .

$9 \tan^{4} (x) \sec (x) + 27 (\tan^{2} (x) \sec^{3} (x)) + 45 \sec^{5} (x) + 45 (3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x))$

Paso 4.4.3.2

Multiplica $3$ por $45$ .

$9 \tan^{4} (x) \sec (x) + 27 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 45 \sec^{5} (x) + 135 (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x))$

Paso 4.4.3.3

Reordena los factores de $27 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)$ .

$9 \tan^{4} (x) \sec (x) + 27 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 45 \sec^{5} (x) + 135 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$

Paso 4.4.3.4

Suma $27 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$ y $135 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = 9 \tan^{4} (x) \sec (x) + 162 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 45 \sec^{5} (x)$