Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x + 2}{x - 3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 2$ y $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x - 3 - x - 1 \cdot 2}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.2.1

Combina los términos opuestos en $x - 3 - x - 1 \cdot 2$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{0 - 3 - 1 \cdot 2}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2

Resta $3$ de $0$ .

$f' (x) = \frac{- 3 - 1 \cdot 2}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- 3 - 2}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Resta $2$ de $- 3$ .

$f' (x) = \frac{- 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ como ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1}$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x - 3$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 3$ .

$f'' (x) = - 5 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 5 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$f'' (x) = - 5 (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 2$ por $- 5$ .

$f'' (x) = 10 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

Paso 2.3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0)$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $10$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

Paso 2.4.2

Combina $10$ y $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{10}{{(x - 3)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = 10 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

Paso 3.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ como ${({(x - 3)}^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = 10 \frac{d}{d x} ({({(x - 3)}^{3})}^{- 1})$

Paso 3.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 3)}^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = 10 \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{3 \cdot - 1})$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f''' (x) = 10 \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{- 3})$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 3}$ y $g (x) = x - 3$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 3$ .

$f''' (x) = 10 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$f''' (x) = 10 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$f''' (x) = 10 (- 3 {(x - 3)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 3$ por $10$ .

$f''' (x) = - 30 ({(x - 3)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

Paso 3.3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4} (1 + 0)$

Paso 3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4} \cdot 1$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $- 30$ por $1$ .

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - 30 \frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Combina $- 30$ y $\frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 30}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{30}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.1.1

Como $- 30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{30}{{(x - 3)}^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = - 30 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 4.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$ como ${({(x - 3)}^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = - 30 \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{4})}^{- 1}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 3)}^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 30 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{4 \cdot - 1}$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 30 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 4}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 4}$ y $g (x) = x - 3$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 3$ .

$f^{4} (x) = - 30 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = - 30 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$f^{4} (x) = - 30 (- 4 {(x - 3)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 4$ por $- 30$ .

$f^{4} (x) = 120 ({(x - 3)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Paso 4.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

Paso 4.3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5} (1 + 0)$

Paso 4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5} \cdot 1$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $120$ por $1$ .

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5}$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = 120 (\frac{1}{{(x - 3)}^{5}})$

Paso 4.4.2

Combina $120$ y $\frac{1}{{(x - 3)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(x - 3)}^{5}}$