Cálculo Ejemplos

$G (r) = \sqrt{r} + \sqrt[9]{r}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{r} + \sqrt[9]{r}$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[9]{r}]$ .

$f' (r) = \frac{d}{d r} (\sqrt{r}) + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}]$ .

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Paso 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{r}$ como $r^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (r) = \frac{d}{d r} (r^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Paso 1.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Paso 1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d r} [\sqrt[9]{r}]$ .

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Paso 1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[9]{r}$ como $r^{\frac{1}{9}}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} (r^{\frac{1}{9}})$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{9}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{1}{9} - 1}$

Paso 1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}$

Paso 1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{9}{9}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}$

Paso 1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{1 - 1 \cdot 9}{9}}$

Paso 1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{1 - 9}{9}}$

Paso 1.3.6.2

Resta $9$ de $1$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{- 8}{9}}$

Paso 1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{- \frac{8}{9}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{9} r^{- \frac{8}{9}}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{r^{\frac{8}{9}}}$

Paso 1.4.3

Combina los términos.

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Paso 1.4.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{r^{\frac{8}{9}}}$

Paso 1.4.3.2

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{1}{r^{\frac{8}{9}}}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}}$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}}]$ .

$f'' (r) = \frac{d}{d r} (\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d r} [\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $r$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d r} (\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}$ como ${(r^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d r} ({(r^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ es $f' (g (r)) g' (r)$ donde $f (r) = r^{- 1}$ y $g (r) = r^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $r^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $r^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- {(r^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- {(r^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(r^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $r^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} \frac{r^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.12

Combina $\frac{r^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $r^{- 1}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{- \frac{1}{2}} r^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.13

Multiplica $r^{- \frac{1}{2}}$ por $r^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.13.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.13.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.13.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.13.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.13.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.13.5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.13.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.14

Mueve $r^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 r^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.15

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 r^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{2 (2 r^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.2.16

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d r} [\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}}$ con respecto a $r$ es $\frac{1}{9} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{8}{9}}}]$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot \frac{d}{d r} (\frac{1}{r^{\frac{8}{9}}})$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{r^{\frac{8}{9}}}$ como ${(r^{\frac{8}{9}})}^{- 1}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot \frac{d}{d r} ({(r^{\frac{8}{9}})}^{- 1})$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ es $f' (g (r)) g' (r)$ donde $f (r) = r^{- 1}$ y $g (r) = r^{\frac{8}{9}}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $r^{\frac{8}{9}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{8}{9}}))$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{8}{9}})$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $r^{\frac{8}{9}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- {(r^{\frac{8}{9}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{8}{9}})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = \frac{8}{9}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- {(r^{\frac{8}{9}})}^{- 2} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(r^{\frac{8}{9}})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{\frac{8}{9} \cdot - 2} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1}))$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $\frac{8}{9} \cdot - 2$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Combina $\frac{8}{9}$ y $- 2$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{\frac{8 \cdot - 2}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1}))$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{\frac{- 16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1}))$

Paso 2.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1}))$

Paso 2.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}))$

Paso 2.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{9}{9}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}))$

Paso 2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8 - 1 \cdot 9}{9}}))$

Paso 2.3.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8 - 9}{9}}))$

Paso 2.3.9.2

Resta $9$ de $8$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{- 1}{9}}))$

Paso 2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{- \frac{1}{9}}))$

Paso 2.3.11

Combina $\frac{8}{9}$ y $r^{- \frac{1}{9}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} \frac{8 r^{- \frac{1}{9}}}{9})$

Paso 2.3.12

Combina $\frac{8 r^{- \frac{1}{9}}}{9}$ y $r^{- \frac{16}{9}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 r^{- \frac{1}{9}} r^{- \frac{16}{9}}}{9})$

Paso 2.3.13

Multiplica $r^{- \frac{1}{9}}$ por $r^{- \frac{16}{9}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.13.1

Mueve $r^{- \frac{16}{9}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 (r^{- \frac{16}{9}} r^{- \frac{1}{9}})}{9})$

Paso 2.3.13.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 r^{- \frac{16}{9} - \frac{1}{9}}}{9})$

Paso 2.3.13.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 r^{\frac{- 16 - 1}{9}}}{9})$

Paso 2.3.13.4

Resta $1$ de $- 16$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 r^{\frac{- 17}{9}}}{9})$

Paso 2.3.13.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 r^{- \frac{17}{9}}}{9})$

Paso 2.3.14

Mueve $r^{- \frac{17}{9}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8}{9 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 2.3.15

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{8}{9 r^{\frac{17}{9}}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} - \frac{8}{9 (9 r^{\frac{17}{9}})}$

Paso 2.3.16

Multiplica $9$ por $9$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} - \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} - \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}}$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d r} [- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}}]$ .

$f''' (r) = \frac{d}{d r} (- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d r} [- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Como $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $r$ es $- \frac{1}{4} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d r} \frac{1}{r^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{1}{r^{\frac{3}{2}}}$ como ${(r^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d r} {(r^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ es $f' (g (r)) g' (r)$ donde $f (r) = r^{- 1}$ y $g (r) = r^{\frac{3}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $r^{\frac{3}{2}}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{3}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $r^{\frac{3}{2}}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- {(r^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- {(r^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.5

Multiplica los exponentes en ${(r^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.5.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3 - 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.9.2

Resta $2$ de $3$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.10

Combina $\frac{3}{2}$ y $r^{\frac{1}{2}}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} \frac{3 r^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.11

Combina $\frac{3 r^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $r^{- 3}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{\frac{1}{2}} r^{- 3}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.12

Multiplica $r^{\frac{1}{2}}$ por $r^{- 3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.12.1

Mueve $r^{- 3}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 (r^{- 3} r^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.12.3

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.12.4

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.12.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.12.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.12.6.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.12.6.2

Suma $- 6$ y $1$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{\frac{- 5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.12.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{- \frac{5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.13

Mueve $r^{- \frac{5}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.14

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f''' (r) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.15

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f''' (r) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.16

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{4 (2 r^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.2.17

Multiplica $2$ por $4$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d r} [- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Como $- \frac{8}{81}$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}}$ con respecto a $r$ es $- \frac{8}{81} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{17}{9}}}]$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot \frac{d}{d r} \frac{1}{r^{\frac{17}{9}}}$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{r^{\frac{17}{9}}}$ como ${(r^{\frac{17}{9}})}^{- 1}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot \frac{d}{d r} {(r^{\frac{17}{9}})}^{- 1}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ es $f' (g (r)) g' (r)$ donde $f (r) = r^{- 1}$ y $g (r) = r^{\frac{17}{9}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $r^{\frac{17}{9}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{17}{9}}))$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{17}{9}})$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $r^{\frac{17}{9}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- {(r^{\frac{17}{9}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{17}{9}})$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = \frac{17}{9}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- {(r^{\frac{17}{9}})}^{- 2} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1}))$

Paso 3.3.5

Multiplica los exponentes en ${(r^{\frac{17}{9}})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{\frac{17}{9} \cdot - 2} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1}))$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $\frac{17}{9} \cdot - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.2.1

Combina $\frac{17}{9}$ y $- 2$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{\frac{17 \cdot - 2}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1}))$

Paso 3.3.5.2.2

Multiplica $17$ por $- 2$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{\frac{- 34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1}))$

Paso 3.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1}))$

Paso 3.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}))$

Paso 3.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{9}{9}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}))$

Paso 3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17 - 1 \cdot 9}{9}}))$

Paso 3.3.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17 - 9}{9}}))$

Paso 3.3.9.2

Resta $9$ de $17$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{8}{9}}))$

Paso 3.3.10

Combina $\frac{17}{9}$ y $r^{\frac{8}{9}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} \frac{17 r^{\frac{8}{9}}}{9})$

Paso 3.3.11

Combina $\frac{17 r^{\frac{8}{9}}}{9}$ y $r^{- \frac{34}{9}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 r^{\frac{8}{9}} r^{- \frac{34}{9}}}{9})$

Paso 3.3.12

Multiplica $r^{\frac{8}{9}}$ por $r^{- \frac{34}{9}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.12.1

Mueve $r^{- \frac{34}{9}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 (r^{- \frac{34}{9}} r^{\frac{8}{9}})}{9})$

Paso 3.3.12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 r^{- \frac{34}{9} + \frac{8}{9}}}{9})$

Paso 3.3.12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 r^{\frac{- 34 + 8}{9}}}{9})$

Paso 3.3.12.4

Suma $- 34$ y $8$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 r^{\frac{- 26}{9}}}{9})$

Paso 3.3.12.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 r^{- \frac{26}{9}}}{9})$

Paso 3.3.13

Mueve $r^{- \frac{26}{9}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17}{9 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 3.3.14

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + 1 (\frac{8}{81}) \cdot \frac{17}{9 r^{\frac{26}{9}}}$

Paso 3.3.15

Multiplica $\frac{8}{81}$ por $1$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{8}{81} \cdot \frac{17}{9 r^{\frac{26}{9}}}$

Paso 3.3.16

Multiplica $\frac{8}{81}$ por $\frac{17}{9 r^{\frac{26}{9}}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{8 \cdot 17}{81 (9 r^{\frac{26}{9}})}$

Paso 3.3.17

Multiplica $8$ por $17$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{136}{81 (9 r^{\frac{26}{9}})}$

Paso 3.3.18

Multiplica $9$ por $81$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}}$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}}]$ .

$f^{4} (r) = \frac{d}{d r} (\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d r} [\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Como $\frac{3}{8}$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}$ con respecto a $r$ es $\frac{3}{8} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d r} (\frac{1}{r^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.2

Reescribe $\frac{1}{r^{\frac{5}{2}}}$ como ${(r^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d r} ({(r^{\frac{5}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ es $f' (g (r)) g' (r)$ donde $f (r) = r^{- 1}$ y $g (r) = r^{\frac{5}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $r^{\frac{5}{2}}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{5}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $r^{\frac{5}{2}}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- {(r^{\frac{5}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- {(r^{\frac{5}{2}})}^{- 2} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.5

Multiplica los exponentes en ${(r^{\frac{5}{2}})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{\frac{5}{2} \cdot - 2} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{\frac{5}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{5 \cdot - 1} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.5.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5 - 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.9.2

Resta $2$ de $5$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{3}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.10

Combina $\frac{5}{2}$ y $r^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} \frac{5 r^{\frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.11

Combina $\frac{5 r^{\frac{3}{2}}}{2}$ y $r^{- 5}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{\frac{3}{2}} r^{- 5}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.12

Multiplica $r^{\frac{3}{2}}$ por $r^{- 5}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.12.1

Mueve $r^{- 5}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 (r^{- 5} r^{\frac{3}{2}})}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{- 5 + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.12.3

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{- 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.12.4

Combina $- 5$ y $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{\frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.12.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{\frac{- 5 \cdot 2 + 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.12.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.12.6.1

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{\frac{- 10 + 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.12.6.2

Suma $- 10$ y $3$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{\frac{- 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.12.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{- \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.13

Mueve $r^{- \frac{7}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2 r^{\frac{7}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.14

Multiplica $\frac{3}{8}$ por $\frac{5}{2 r^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{3 \cdot 5}{8 (2 r^{\frac{7}{2}})} + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.15

Multiplica $3$ por $5$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{8 (2 r^{\frac{7}{2}})} + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.2.16

Multiplica $2$ por $8$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d r} [\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $\frac{136}{729}$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}}$ con respecto a $r$ es $\frac{136}{729} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{26}{9}}}]$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot \frac{d}{d r} (\frac{1}{r^{\frac{26}{9}}})$

Paso 4.3.2

Reescribe $\frac{1}{r^{\frac{26}{9}}}$ como ${(r^{\frac{26}{9}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot \frac{d}{d r} ({(r^{\frac{26}{9}})}^{- 1})$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ es $f' (g (r)) g' (r)$ donde $f (r) = r^{- 1}$ y $g (r) = r^{\frac{26}{9}}$ .

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Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $r^{\frac{26}{9}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{26}{9}}))$

Paso 4.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{26}{9}})$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $r^{\frac{26}{9}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- {(r^{\frac{26}{9}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{26}{9}})$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = \frac{26}{9}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- {(r^{\frac{26}{9}})}^{- 2} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1}))$

Paso 4.3.5

Multiplica los exponentes en ${(r^{\frac{26}{9}})}^{- 2}$ .

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Paso 4.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{\frac{26}{9} \cdot - 2} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1}))$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $\frac{26}{9} \cdot - 2$ .

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Paso 4.3.5.2.1

Combina $\frac{26}{9}$ y $- 2$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{\frac{26 \cdot - 2}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1}))$

Paso 4.3.5.2.2

Multiplica $26$ por $- 2$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{\frac{- 52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1}))$

Paso 4.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1}))$

Paso 4.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}))$

Paso 4.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{9}{9}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}))$

Paso 4.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26 - 1 \cdot 9}{9}}))$

Paso 4.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26 - 9}{9}}))$

Paso 4.3.9.2

Resta $9$ de $26$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{17}{9}}))$

Paso 4.3.10

Combina $\frac{26}{9}$ y $r^{\frac{17}{9}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} \frac{26 r^{\frac{17}{9}}}{9})$

Paso 4.3.11

Combina $\frac{26 r^{\frac{17}{9}}}{9}$ y $r^{- \frac{52}{9}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 r^{\frac{17}{9}} r^{- \frac{52}{9}}}{9})$

Paso 4.3.12

Multiplica $r^{\frac{17}{9}}$ por $r^{- \frac{52}{9}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.12.1

Mueve $r^{- \frac{52}{9}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 (r^{- \frac{52}{9}} r^{\frac{17}{9}})}{9})$

Paso 4.3.12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 r^{- \frac{52}{9} + \frac{17}{9}}}{9})$

Paso 4.3.12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 r^{\frac{- 52 + 17}{9}}}{9})$

Paso 4.3.12.4

Suma $- 52$ y $17$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 r^{\frac{- 35}{9}}}{9})$

Paso 4.3.12.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 r^{- \frac{35}{9}}}{9})$

Paso 4.3.13

Mueve $r^{- \frac{35}{9}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26}{9 r^{\frac{35}{9}}})$

Paso 4.3.14

Multiplica $\frac{136}{729}$ por $\frac{26}{9 r^{\frac{35}{9}}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{136 \cdot 26}{729 (9 r^{\frac{35}{9}})}$

Paso 4.3.15

Multiplica $136$ por $26$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{3536}{729 (9 r^{\frac{35}{9}})}$

Paso 4.3.16

Multiplica $9$ por $729$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{3536}{6561 r^{\frac{35}{9}}}$

Paso 5

La cuarta derivada de $G (r)$ con respecto a $r$ es $- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{3536}{6561 r^{\frac{35}{9}}}$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{3536}{6561 r^{\frac{35}{9}}}$