Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (3 x - 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x - 1$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 1$ .

$\frac{1}{3 x - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 + 0)$

Paso 1.2.6

Combina fracciones.

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Paso 1.2.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{1}{3 x - 1} \cdot 3$

Paso 1.2.6.2

Combina $\frac{1}{3 x - 1}$ y $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{3 x - 1}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{3 x - 1}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 1}]$

Paso 2.1.2

Reescribe $\frac{1}{3 x - 1}$ como ${(3 x - 1)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 1}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 3 x - 1$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 1$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 1$ .

$3 (- {(3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 ({(3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 + 0)$

Paso 2.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.7.1

Suma $3$ y $0$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} \cdot 3$

Paso 2.3.7.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$- 9 {(3 x - 1)}^{- 2}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $- 9$ y $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{9}{{(3 x - 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}]$

Paso 3.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ como ${({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [{({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

Paso 3.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = 3 x - 1$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 1$ .

$- 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- 9 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 1$ .

$- 9 (- 2 {(3 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 2$ por $- 9$ .

$18 ({(3 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 + 0)$

Paso 3.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.7.1

Suma $3$ y $0$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} \cdot 3$

Paso 3.3.7.2

Multiplica $3$ por $18$ .

$54 {(3 x - 1)}^{- 3}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$54 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Paso 3.4.2

Combina $54$ y $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ .

$f''' (x) = \frac{54}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.1.1

Como $54$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{54}{{(3 x - 1)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}]$ .

$54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}]$

Paso 4.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ como ${({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$54 \frac{d}{d x} [{({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}]$

Paso 4.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$54 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$54 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 3}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 3}$ y $g (x) = 3 x - 1$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 1$ .

$54 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$54 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 1$ .

$54 (- 3 {(3 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 3$ por $54$ .

$- 162 ({(3 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Paso 4.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 + 0)$

Paso 4.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.7.1

Suma $3$ y $0$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} \cdot 3$

Paso 4.3.7.2

Multiplica $3$ por $- 162$ .

$- 486 {(3 x - 1)}^{- 4}$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 486 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Paso 4.4.2

Combina los términos.

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Paso 4.4.2.1

Combina $- 486$ y $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Paso 4.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = - \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$ .

$- \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$