Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (2 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Paso 1.2.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = - 2 \sin (2 x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$- 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$- 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \cos (2 x) \cdot 1$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$- 4 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$4 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 \sin (2 x) \cdot 1$

Paso 3.3.5

Multiplica $8$ por $1$ .

$f''' (x) = 8 \sin (2 x)$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$8 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$8 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$16 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$16 \cos (2 x) \cdot 1$

Paso 4.3.4

Multiplica $16$ por $1$ .

$f^{4} (x) = 16 \cos (2 x)$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $16 \cos (2 x)$ .

$16 \cos (2 x)$