Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x^{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f' (x) = \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \cos (x^{2}) (2 x)$

Paso 1.2.2

Reordena los factores de $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$f' (x) = 2 x \cos (x^{2})$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \cos (x^{2})$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \cos (x^{2}))$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.8

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Paso 2.10

Multiplica $\cos (x^{2})$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

Paso 2.11

Simplifica.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

Paso 2.11.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x^{2})]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2} \sin (x^{2})$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x^{2})]$ .

$f''' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Paso 3.2.3.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{2} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{2} (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{2} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{2} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Paso 3.2.6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.6.1

Mueve $x$ .

$f''' (x) = - 4 (x \cdot x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Paso 3.2.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.2.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f''' (x) = - 4 (x \cdot x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Paso 3.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f''' (x) = - 4 (x^{1 + 2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Paso 3.2.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Paso 3.2.7

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (x^{2})$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$ .

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x^{2})$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x^{2}))$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 (- \sin (x^{2}) (2 x))$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 (- 2 \sin (x^{2}) x)$

Paso 3.3.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) - 4 \sin (x^{2}) x$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2}))) - 4 (\sin (x^{2}) (2 x)) - 4 \sin (x^{2}) x$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f''' (x) = - 8 (x^{3} (\cos (x^{2}))) - 4 (\sin (x^{2}) (2 x)) - 4 \sin (x^{2}) x$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f''' (x) = - 8 x^{3} \cos (x^{2}) - 8 (\sin (x^{2}) (x)) - 4 \sin (x^{2}) x$

Paso 3.4.2.3

Resta $4 \sin (x^{2}) x$ de $- 8 \sin (x^{2}) x$ .

$f''' (x) = - 8 x^{3} \cos (x^{2}) - 12 \sin (x^{2}) x$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$f''' (x) = - 8 x^{3} \cos (x^{2}) - 12 x \sin (x^{2})$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 8 x^{3} \cos (x^{2}) - 12 x \sin (x^{2})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 12 x \sin (x^{2})]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- 8 x^{3} \cos (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3} \cos (x^{2})]$ .

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Paso 4.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x^{3} \cos (x^{2})$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x^{2})]$ .

$f^{4} (x) = - 8 \frac{d}{d x} (x^{3} \cos (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Paso 4.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 4.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (\cos (u_{1})) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Paso 4.2.3.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{3} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Paso 4.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{3} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Paso 4.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{3} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Paso 4.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{3} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Paso 4.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Paso 4.2.7

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.7.1

Mueve $x$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x \cdot x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Paso 4.2.7.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 4.2.7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x \cdot x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Paso 4.2.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{1 + 3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Paso 4.2.7.3

Suma $1$ y $3$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x \sin (x^{2})]$ .

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Paso 4.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x \sin (x^{2})$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 \frac{d}{d x} (x \sin (x^{2}))$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x \frac{d}{d x} (\sin (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x (\frac{d}{d u (2)} (\sin (u_{2})) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.3.3.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Paso 4.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x \cdot x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Paso 4.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x \cdot x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Paso 4.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Paso 4.3.9

Suma $1$ y $1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Paso 4.3.10

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Paso 4.3.11

Multiplica $\sin (x^{2})$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2}))) - 8 (\cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

Paso 4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2}))) - 8 (\cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) - 12 \sin (x^{2})$

Paso 4.4.3

Combina los términos.

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Paso 4.4.3.1

Multiplica $- 2$ por $- 8$ .

$f^{4} (x) = 16 (x^{4} (\sin (x^{2}))) - 8 (\cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) - 12 \sin (x^{2})$

Paso 4.4.3.2

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} \sin (x^{2}) - 24 (\cos (x^{2}) (x^{2})) - 12 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) - 12 \sin (x^{2})$

Paso 4.4.3.3

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} \sin (x^{2}) - 24 \cos (x^{2}) x^{2} - 24 (x^{2} (\cos (x^{2}))) - 12 \sin (x^{2})$

Paso 4.4.3.4

Resta $24 x^{2} \cos (x^{2})$ de $- 24 \cos (x^{2}) x^{2}$ .

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Paso 4.4.3.4.1

Mueve $\cos (x^{2})$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} \sin (x^{2}) - 24 x^{2} \cos (x^{2}) - 24 x^{2} \cos (x^{2}) - 12 \sin (x^{2})$

Paso 4.4.3.4.2

Resta $24 x^{2} \cos (x^{2})$ de $- 24 x^{2} \cos (x^{2})$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} \sin (x^{2}) - 48 x^{2} \cos (x^{2}) - 12 \sin (x^{2})$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $16 x^{4} \sin (x^{2}) - 48 x^{2} \cos (x^{2}) - 12 \sin (x^{2})$ .

$16 x^{4} \sin (x^{2}) - 48 x^{2} \cos (x^{2}) - 12 \sin (x^{2})$