Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{\ln (x)}{11 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{11}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{\ln (x)}{11 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.4.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.4.4

Combina fracciones.

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Paso 1.4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 1.4.4.2

Multiplica $\frac{1}{11}$ por $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{11 x^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{11}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1 - \ln (x)}{11 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}})$

Paso 2.2

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.5.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.2.2.3

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.2.2.4

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.5.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.5.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Paso 2.5.4.2

Factoriza $x$ de $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

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Paso 2.5.4.2.1

Factoriza $x$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Paso 2.5.4.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Paso 2.5.4.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Paso 2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Paso 2.7

Multiplica $\frac{1}{11}$ por $\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{11 x^{3}}$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{11 x^{3}}$

Paso 2.8.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{11 x^{3}}$

Paso 2.8.2.1.2

Multiplica $- 2 (- \ln (x))$ .

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Paso 2.8.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{11 x^{3}}$

Paso 2.8.2.1.2.2

Simplifica $2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

Paso 2.8.2.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

Paso 2.8.3

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

Paso 2.8.4

Factoriza $- 1$ de $\ln (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{11 x^{3}}$

Paso 2.8.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{11 x^{3}}$

Paso 2.8.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $- \frac{1}{11}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Paso 3.2

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 - \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 - \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 - \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - \ln (x^{2})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x^{2})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.4.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.5.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.5.2.2.4

Divide $x$ por $1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- x (2 x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.5.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x \cdot x - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 (x \cdot x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 (x \cdot x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{1 + 1} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.9

Suma $1$ y $1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Paso 3.11

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.11.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 3.11.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.11.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 3.11.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Paso 3.11.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Paso 3.12

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 3.12.2

Cancela el factor común.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 3.12.3

Reescribe la expresión.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Paso 3.13

Multiplica $\frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$ por $\frac{1}{11}$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4} \cdot 11}$

Paso 3.14

Mueve $11$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{11 \cdot x^{4}}$

Paso 3.15

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 3 \cdot 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{11 x^{4}}$

Paso 3.15.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.15.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.15.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 - 3 (- \ln (x^{2}))}{11 x^{4}}$

Paso 3.15.2.1.2

Multiplica $- 3 (- \ln (x^{2}))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.15.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + 3 \ln (x^{2})}{11 x^{4}}$

Paso 3.15.2.1.2.2

Simplifica $3 \ln (x^{2})$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{11 x^{4}}$

Paso 3.15.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.15.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{11 x^{4}}$

Paso 3.15.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

Paso 3.15.2.2

Resta $9$ de $- 2$ .

$f''' (x) = - \frac{- 11 + \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

Paso 3.15.3

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$f''' (x) = - \frac{- 1 \cdot 11 + \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

Paso 3.15.4

Factoriza $- 1$ de $\ln (x^{6})$ .

$f''' (x) = - \frac{- 1 \cdot 11 - 1 (- \ln (x^{6}))}{11 x^{4}}$

Paso 3.15.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (11) - 1 (- \ln (x^{6}))$ .

$f''' (x) = - \frac{- 1 (11 - \ln (x^{6}))}{11 x^{4}}$

Paso 3.15.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = \frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

Paso 3.15.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}})$

Paso 3.15.8

Multiplica $\frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $\frac{1}{11}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}})$

Paso 4.2

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (11 - \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{2}$ .

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Paso 4.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (11 - \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (11 - \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $11 - \ln (x^{6})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (\frac{d}{d x} (11) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.3.3

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $11$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x^{6})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{6}$ .

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Paso 4.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{6}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.4.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{6}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.5.1

Combina $x^{4}$ y $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4}}{x^{6}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.5.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{6}$ .

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Paso 4.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{6}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.2.2.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{6}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} \cdot (6 x^{5}) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.5.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.5.4.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.5.4.2

Combina $- 6$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{- 6}{x^{2}} \cdot x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.5.4.3

Combina $\frac{- 6}{x^{2}}$ y $x^{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{5}}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.5.4.4

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x^{2}$ .

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Paso 4.5.4.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 6 x^{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.5.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.4.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.5.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.5.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{3}}{1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.5.4.4.2.4

Divide $- 6 x^{3}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 4.5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Paso 4.5.6

Combina fracciones.

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Paso 4.5.6.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$

Paso 4.5.6.2

Multiplica $\frac{1}{11}$ por $\frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{11 x^{8}}$

Paso 4.6

Simplifica.

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Paso 4.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} + (- 4 \cdot 11 - 4 (- \ln (x^{6}))) x^{3}}{11 x^{8}}$

Paso 4.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 4 \cdot (11 x^{3}) - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{11 x^{8}}$

Paso 4.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.6.3.1.1

Multiplica $- 4$ por $11$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{11 x^{8}}$

Paso 4.6.3.1.2

Multiplica $- 4 (- \ln (x^{6}))$ .

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Paso 4.6.3.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + 4 \ln (x^{6}) x^{3}}{11 x^{8}}$

Paso 4.6.3.1.2.2

Simplifica $4 \ln (x^{6})$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln ({(x^{6})}^{4}) x^{3}}{11 x^{8}}$

Paso 4.6.3.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{4}$ .

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Paso 4.6.3.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{6 \cdot 4}) x^{3}}{11 x^{8}}$

Paso 4.6.3.1.3.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{11 x^{8}}$

Paso 4.6.3.2

Resta $44 x^{3}$ de $- 6 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{11 x^{8}}$

Paso 4.6.3.3

Reordena los factores en $- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})}{11 x^{8}}$

Paso 4.6.4

Factoriza $x^{3}$ de $- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})$ .

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Paso 4.6.4.1

Factoriza $x^{3}$ de $- 50 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} \ln (x^{24})}{11 x^{8}}$

Paso 4.6.4.2

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} \ln (x^{24})$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))}{11 x^{8}}$

Paso 4.6.4.3

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + \ln (x^{24}))}{11 x^{8}}$

Paso 4.6.5

Expande $\ln (x^{24})$ ; para ello, mueve $24$ fuera del logaritmo.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{11 x^{8}}$

Paso 4.6.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.6.6.1

Factoriza $x^{3}$ de $11 x^{8}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (11 x^{5})}$

Paso 4.6.6.2

Cancela el factor común.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (11 x^{5})}$

Paso 4.6.6.3

Reescribe la expresión.

$f^{4} (x) = \frac{- 50 + 24 \ln (x)}{11 x^{5}}$

Paso 4.6.7

Factoriza $2$ de $- 50 + 24 \ln (x)$ .

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Paso 4.6.7.1

Factoriza $2$ de $- 50$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 25) + 24 \ln (x)}{11 x^{5}}$

Paso 4.6.7.2

Factoriza $2$ de $24 \ln (x)$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

Paso 4.6.7.3

Factoriza $2$ de $2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

Paso 4.6.8

Reescribe $- 25$ como $- 1 (25)$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1 \cdot 25 + 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

Paso 4.6.9

Factoriza $- 1$ de $12 \ln (x)$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1 \cdot 25 - (- 12 \ln (x)))}{11 x^{5}}$

Paso 4.6.10

Factoriza $- 1$ de $- 1 (25) - (- 12 \ln (x))$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1 (25 - 12 \ln (x)))}{11 x^{5}}$

Paso 4.6.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = - \frac{2 (25 - 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 (25 - 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$ .

$- \frac{2 (25 - 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$