Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Paso 1.3.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x \ln (x) + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.5

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.6.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.6.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.7

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Paso 2.4.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \ln (x) + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + 0$

Paso 3.3.2

Suma $\frac{2}{x}$ y $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 4.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = 2 (- x^{- 2})$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f^{4} (x) = - 2 x^{- 2}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 4.5.2

Combina los términos.

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Paso 4.5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

Paso 4.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{x^{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}}$