Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} \cos (6 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2} \cos (6 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (6 x)$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$2 (x^{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x$ .

$2 (x^{2} (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.4.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x) \cdot 1) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.4.4

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x))$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x))) + 2 (\cos (6 x) (2 x))$

Paso 1.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.5.2.1

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$- 12 (x^{2} (\sin (6 x))) + 2 (\cos (6 x) (2 x))$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 12 x^{2} \sin (6 x) + 4 \cos (6 x) x$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$f' (x) = - 12 x^{2} \sin (6 x) + 4 x \cos (6 x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 12 x^{2} \sin (6 x) + 4 x \cos (6 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} \sin (6 x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{2} \sin (6 x)$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (6 x)$ .

$- 12 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $6 x$ .

$- 12 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Paso 2.2.3.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $6 x$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Paso 2.2.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Paso 2.2.7

Multiplica $6$ por $1$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) \cdot 6) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Paso 2.2.8

Mueve $6$ a la izquierda de $\cos (6 x)$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x \cos (6 x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)]$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (6 x)$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $6 x$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $6 x$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \cdot 1)$

Paso 2.3.7

Multiplica $6$ por $1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) \cdot 6) + \cos (6 x) \cdot 1)$

Paso 2.3.8

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) \cdot 1)$

Paso 2.3.9

Multiplica $\cos (6 x)$ por $1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x))$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x))) - 12 (\sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x))$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x))) - 12 (\sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $6$ por $- 12$ .

$- 72 (x^{2} (\cos (6 x))) - 12 (\sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$- 72 x^{2} \cos (6 x) - 24 (\sin (6 x) (x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

Paso 2.4.3.3

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$- 72 x^{2} \cos (6 x) - 24 \sin (6 x) x - 24 (x (\sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

Paso 2.4.3.4

Resta $24 x \sin (6 x)$ de $- 24 \sin (6 x) x$ .

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Paso 2.4.3.4.1

Mueve $\sin (6 x)$ .

$- 72 x^{2} \cos (6 x) - 24 x \sin (6 x) - 24 x \sin (6 x) + 4 \cos (6 x)$

Paso 2.4.3.4.2

Resta $24 x \sin (6 x)$ de $- 24 x \sin (6 x)$ .

$f'' (x) = - 72 x^{2} \cos (6 x) - 48 x \sin (6 x) + 4 \cos (6 x)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 72 x^{2} \cos (6 x) - 48 x \sin (6 x) + 4 \cos (6 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2} \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 72 x^{2} \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2} \cos (6 x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 72 x^{2} \cos (6 x)$ con respecto a $x$ es $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)]$ .

$- 72 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (6 x)$ .

$- 72 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.2.3.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.2.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.2.7

Multiplica $6$ por $1$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) \cdot 6) + \cos (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.2.8

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 48 x \sin (6 x)$ con respecto a $x$ es $- 48 \frac{d}{d x} [x \sin (6 x)]$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 \frac{d}{d x} [x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (6 x)$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.3.3.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.3.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.3.7

Multiplica $6$ por $1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) \cdot 6) + \sin (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.3.8

Mueve $6$ a la izquierda de $\cos (6 x)$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cdot \cos (6 x)) + \sin (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.3.9

Multiplica $\sin (6 x)$ por $1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$ .

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Paso 3.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \cos (6 x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [6 x])$

Paso 3.4.2.2

La derivada de $\cos (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $- \sin (u_{3})$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [6 x])$

Paso 3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

Paso 3.4.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) (6 \cdot 1))$

Paso 3.4.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) \cdot 6)$

Paso 3.4.6

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- 6 \sin (6 x))$

Paso 3.4.7

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) - 24 \sin (6 x)$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x))) - 72 (\cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) - 24 \sin (6 x)$

Paso 3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x))) - 72 (\cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Paso 3.5.3

Combina los términos.

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Paso 3.5.3.1

Multiplica $- 6$ por $- 72$ .

$432 (x^{2} (\sin (6 x))) - 72 (\cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Paso 3.5.3.2

Multiplica $2$ por $- 72$ .

$432 x^{2} \sin (6 x) - 144 (\cos (6 x) (x)) - 48 (x (6 \cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Paso 3.5.3.3

Multiplica $6$ por $- 48$ .

$432 x^{2} \sin (6 x) - 144 \cos (6 x) x - 288 (x (\cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Paso 3.5.3.4

Resta $288 x \cos (6 x)$ de $- 144 \cos (6 x) x$ .

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Paso 3.5.3.4.1

Mueve $\cos (6 x)$ .

$432 x^{2} \sin (6 x) - 144 x \cos (6 x) - 288 x \cos (6 x) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Paso 3.5.3.4.2

Resta $288 x \cos (6 x)$ de $- 144 x \cos (6 x)$ .

$432 x^{2} \sin (6 x) - 432 x \cos (6 x) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Paso 3.5.3.5

Resta $24 \sin (6 x)$ de $- 48 \sin (6 x)$ .

$f''' (x) = 432 x^{2} \sin (6 x) - 432 x \cos (6 x) - 72 \sin (6 x)$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $432 x^{2} \sin (6 x) - 432 x \cos (6 x) - 72 \sin (6 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [432 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [432 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [432 x^{2} \sin (6 x)]$ .

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Paso 4.2.1

Como $432$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $432 x^{2} \sin (6 x)$ con respecto a $x$ es $432 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)]$ .

$432 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (6 x)$ .

$432 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 4.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $6 x$ .

$432 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.2.3.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$432 (x^{2} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $6 x$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.2.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.2.7

Multiplica $6$ por $1$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) \cdot 6) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.2.8

Mueve $6$ a la izquierda de $\cos (6 x)$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)]$ .

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Paso 4.3.1

Como $- 432$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 432 x \cos (6 x)$ con respecto a $x$ es $- 432 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)]$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (6 x)$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $6 x$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.3.3.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $6 x$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.3.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.3.7

Multiplica $6$ por $1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) \cdot 6) + \cos (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.3.8

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.3.9

Multiplica $\cos (6 x)$ por $1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Paso 4.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Como $- 72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 72 \sin (6 x)$ con respecto a $x$ es $- 72 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Paso 4.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 4.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $6 x$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [6 x])$

Paso 4.4.2.2

La derivada de $\sin (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\cos (u_{3})$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [6 x])$

Paso 4.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $6 x$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

Paso 4.4.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) (6 \cdot 1))$

Paso 4.4.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) \cdot 6)$

Paso 4.4.6

Mueve $6$ a la izquierda de $\cos (6 x)$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (6 \cdot \cos (6 x))$

Paso 4.4.7

Multiplica $6$ por $- 72$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 432 \cos (6 x)$

Paso 4.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x))) + 432 (\sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 432 \cos (6 x)$

Paso 4.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x))) + 432 (\sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Paso 4.5.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.3.1

Multiplica $6$ por $432$ .

$2592 (x^{2} (\cos (6 x))) + 432 (\sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Paso 4.5.3.2

Multiplica $2$ por $432$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 864 (\sin (6 x) (x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Paso 4.5.3.3

Multiplica $- 6$ por $- 432$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 864 \sin (6 x) x + 2592 (x (\sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Paso 4.5.3.4

Suma $864 \sin (6 x) x$ y $2592 x \sin (6 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.3.4.1

Mueve $\sin (6 x)$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 864 x \sin (6 x) + 2592 x \sin (6 x) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Paso 4.5.3.4.2

Suma $864 x \sin (6 x)$ y $2592 x \sin (6 x)$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Paso 4.5.3.5

Resta $432 \cos (6 x)$ de $- 432 \cos (6 x)$ .

$f^{4} (x) = 2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 864 \cos (6 x)$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 864 \cos (6 x)$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 864 \cos (6 x)$