Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x^{2} + 7)}^{7}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 7$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 7$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} (7))$

Paso 1.2.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x + 0)$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x)$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$f' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{6} x$

Paso 1.2.4.3

Reordena los factores de $14 {(x^{2} + 7)}^{6} x$ .

$f' (x) = 14 x {(x^{2} + 7)}^{6}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 x {(x^{2} + 7)}^{6}$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{6}]$ .

$f'' (x) = 14 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{6})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{6}$ .

$f'' (x) = 14 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{6}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 7$ .

$f'' (x) = 14 (x (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 7$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4.4.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 14 (x (12 {(x^{2} + 7)}^{5} x) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 14 (x \cdot x (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 14 (x \cdot x (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 14 (x^{1 + 1} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.8

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \cdot 1)$

Paso 2.10

Multiplica ${(x^{2} + 7)}^{6}$ por $1$ .

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6})$

Paso 2.11

Simplifica.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5})) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

Paso 2.11.2

Multiplica $12$ por $14$ .

$f'' (x) = 168 (x^{2} ({(x^{2} + 7)}^{5})) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

Paso 2.11.3

Factoriza $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ de $168 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{5} + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$ .

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Paso 2.11.3.1

Factoriza $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ de $168 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{5}$ .

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

Paso 2.11.3.2

Factoriza $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ de $14 {(x^{2} + 7)}^{6}$ .

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (x^{2} + 7)$

Paso 2.11.3.3

Factoriza $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ de $14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (x^{2} + 7)$ .

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2} + x^{2} + 7)$

Paso 2.11.4

Suma $12 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 {(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)]$ .

$f''' (x) = 14 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7))$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(x^{2} + 7)}^{5}$ y $g (x) = 13 x^{2} + 7$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} (13 x^{2} + 7) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $13 x^{2} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} (13 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Paso 3.3.2

Como $13$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $13 x^{2}$ con respecto a $x$ es $13 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (13 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (13 (2 x) + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $13$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (26 x + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Paso 3.3.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (26 x + 0) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Paso 3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.6.1

Suma $26 x$ y $0$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (26 x) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Paso 3.3.6.2

Mueve $26$ a la izquierda de ${(x^{2} + 7)}^{5}$ .

$f''' (x) = 14 (26 \cdot ({(x^{2} + 7)}^{5} x) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 7$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (13 x^{2} + 7) (\frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (13 x^{2} + 7) (5 u^{4} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 7$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (13 x^{2} + 7) (5 {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Mueve $5$ a la izquierda de $13 x^{2} + 7$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 \cdot ((13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))$

Paso 3.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)))$

Paso 3.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} (7)))$

Paso 3.5.4

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (2 x + 0))$

Paso 3.5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (2 x))$

Paso 3.5.5.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 10 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (10 (13 x^{2}) + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Paso 3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x) + 14 ((10 (13 x^{2}) + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Paso 3.6.3

Multiplica $26$ por $14$ .

$f''' (x) = 364 ({(x^{2} + 7)}^{5} x) + 14 ((10 (13 x^{2}) + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Paso 3.6.4

Multiplica $13$ por $10$ .

$f''' (x) = 364 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 14 ((130 x^{2} + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Paso 3.6.5

Multiplica $10$ por $7$ .

$f''' (x) = 364 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 14 ((130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Paso 3.6.6

Factoriza $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ de $364 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 14 (130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x$ .

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Paso 3.6.6.1

Factoriza $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ de $364 {(x^{2} + 7)}^{5} x$ .

$f''' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7)) + 14 (130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x$

Paso 3.6.6.2

Factoriza $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ de $14 (130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x$ .

$f''' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7)) + 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (130 x^{2} + 70)$

Paso 3.6.6.3

Factoriza $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ de $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7)) + 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (130 x^{2} + 70)$ .

$f''' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7) + 130 x^{2} + 70)$

Paso 3.6.7

Reordena los factores de $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7) + 130 x^{2} + 70)$ .

$f''' (x) = 14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (26 (x^{2} + 7) + 130 x^{2} + 70)$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (26 x^{2} + 26 \cdot 7 + 130 x^{2} + 70))$

Paso 4.1.1.2

Multiplica $26$ por $7$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (26 x^{2} + 182 + 130 x^{2} + 70))$

Paso 4.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.1.2.1

Suma $26 x^{2}$ y $130 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 182 + 70))$

Paso 4.1.2.2

Suma $182$ y $70$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252))$

Paso 4.1.3

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252)$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252)]$ .

$f^{4} (x) = 14 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252))$

Paso 4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x {(x^{2} + 7)}^{4}$ y $g (x) = 156 x^{2} + 252$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (156 x^{2} + 252) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $156 x^{2} + 252$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [156 x^{2}] + \frac{d}{d x} [252]$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (\frac{d}{d x} (156 x^{2}) + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Paso 4.3.2

Como $156$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $156 x^{2}$ con respecto a $x$ es $156 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 (2 x) + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Paso 4.3.4

Multiplica $2$ por $156$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (312 x + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Paso 4.3.5

Como $252$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $252$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (312 x + 0) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Paso 4.3.6

Suma $312 x$ y $0$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (312 x) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Paso 4.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (x \cdot x {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Paso 4.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (x \cdot x {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Paso 4.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = 14 (x^{1 + 1} {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Paso 4.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.7.1

Suma $1$ y $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Paso 4.7.2

Mueve $312$ a la izquierda de $x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4}$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 \cdot (x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4}) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Paso 4.8

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{4}$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{4}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.9

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Paso 4.9.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 7$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.9.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 7$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.10

Diferencia.

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Paso 4.10.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.10.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.10.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.10.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.10.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.10.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (8 {(x^{2} + 7)}^{3} x) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x \cdot x (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x \cdot x (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{1 + 1} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.14

Suma $1$ y $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 1))$

Paso 4.16

Multiplica ${(x^{2} + 7)}^{4}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4}))$ .

$14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4}))$