Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(2 x + 7)}^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 2 x + 7$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 7$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 1.2.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 + 0)$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} \cdot 2$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (x) = 6 {(2 x + 7)}^{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Reescribe ${(2 x + 7)}^{2}$ como $(2 x + 7) (2 x + 7)$ .

$\frac{d}{d x} [6 ((2 x + 7) (2 x + 7))]$

Paso 2.2

Expande $(2 x + 7) (2 x + 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x + 7) + 7 (2 x + 7))]$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x + 7))]$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $7$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 14 x + 7 \cdot 7)]$

Paso 2.3.1.6

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 14 x + 49)]$

Paso 2.3.2

Suma $14 x$ y $14 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 28 x + 49)]$

Paso 2.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 (4 x^{2} + 28 x + 49)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 28 x + 49]$ .

$6 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 28 x + 49]$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 28 x + 49$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$6 (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 2.6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 2.8

Multiplica $2$ por $4$ .

$6 (8 x + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 2.9

Como $28$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $28 x$ con respecto a $x$ es $28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (8 x + 28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 (8 x + 28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 2.11

Multiplica $28$ por $1$ .

$6 (8 x + 28 + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 2.12

Como $49$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $49$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 (8 x + 28 + 0)$

Paso 2.13

Suma $8 x + 28$ y $0$ .

$6 (8 x + 28)$

Paso 2.14

Simplifica.

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Paso 2.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (8 x) + 6 \cdot 28$

Paso 2.14.2

Combina los términos.

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Paso 2.14.2.1

Multiplica $8$ por $6$ .

$48 x + 6 \cdot 28$

Paso 2.14.2.2

Multiplica $6$ por $28$ .

$f'' (x) = 48 x + 168$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $48 x + 168$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [168]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [168]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 x$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [168]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [168]$

Paso 3.2.3

Multiplica $48$ por $1$ .

$48 + \frac{d}{d x} [168]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $168$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $168$ con respecto a $x$ es $0$ .

$48 + 0$

Paso 3.3.2

Suma $48$ y $0$ .

$f''' (x) = 48$

Paso 4

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$