Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(2 x + 1)}^{4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 1.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + 0)$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} \cdot 2$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f' (x) = 8 {(2 x + 1)}^{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 {(2 x + 1)}^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{3})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 8 (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$f'' (x) = 24 ({(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 2.3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)$

Paso 2.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2$

Paso 2.3.7.2

Multiplica $2$ por $24$ .

$f'' (x) = 48 {(2 x + 1)}^{2}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Reescribe ${(2 x + 1)}^{2}$ como $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 ((2 x + 1) (2 x + 1)))$

Paso 3.2

Expande $(2 x + 1) (2 x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)))$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)))$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Paso 3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1))$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1))$

Paso 3.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 4 x + 1))$

Paso 3.4

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 (4 x^{2} + 4 x + 1)$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1]$ .

$f''' (x) = 48 \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 4 x + 1)$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 4 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 48 (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 3.6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 48 (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = 48 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 3.8

Multiplica $2$ por $4$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 3.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 3.11

Multiplica $4$ por $1$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 3.12

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 + 0)$

Paso 3.13

Suma $8 x + 4$ y $0$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4)$

Paso 3.14

Simplifica.

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Paso 3.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = 48 (8 x) + 48 \cdot 4$

Paso 3.14.2

Combina los términos.

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Paso 3.14.2.1

Multiplica $8$ por $48$ .

$f''' (x) = 384 x + 48 \cdot 4$

Paso 3.14.2.2

Multiplica $48$ por $4$ .

$f''' (x) = 384 x + 192$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $384 x + 192$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [384 x] + \frac{d}{d x} [192]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (384 x) + \frac{d}{d x} (192)$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [384 x]$ .

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Paso 4.2.1

Como $384$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $384 x$ con respecto a $x$ es $384 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 384 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (192)$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 384 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (192)$

Paso 4.2.3

Multiplica $384$ por $1$ .

$f^{4} (x) = 384 + \frac{d}{d x} (192)$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.3.1

Como $192$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $192$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = 384 + 0$

Paso 4.3.2

Suma $384$ y $0$ .

$f^{4} (x) = 384$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $384$ .

$384$