Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(8 x + 3)}^{4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 8 x + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [8 x + 3]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [8 x + 3]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x + 3$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [8 x + 3]$

Paso 1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 1.2.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 1.2.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} (8 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 1.2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} (8 + 0)$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Suma $8$ y $0$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} \cdot 8$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $8$ por $4$ .

$f' (x) = 32 {(8 x + 3)}^{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32 {(8 x + 3)}^{3}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [{(8 x + 3)}^{3}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [{(8 x + 3)}^{3}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 8 x + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 x + 3$ .

$32 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [8 x + 3])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$32 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 3])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x + 3$ .

$32 (3 {(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 3])$

Paso 2.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica $3$ por $32$ .

$96 ({(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 3])$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.3.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.3.5

Multiplica $8$ por $1$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} (8 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.3.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} (8 + 0)$

Paso 2.3.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.1

Suma $8$ y $0$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} \cdot 8$

Paso 2.3.7.2

Multiplica $8$ por $96$ .

$f'' (x) = 768 {(8 x + 3)}^{2}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe ${(8 x + 3)}^{2}$ como $(8 x + 3) (8 x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [768 ((8 x + 3) (8 x + 3))]$

Paso 3.2

Expande $(8 x + 3) (8 x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x + 3) + 3 (8 x + 3))]$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x + 3))]$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Paso 3.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $8$ por $8$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 24 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $8$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 24 x + 24 x + 3 \cdot 3)]$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 24 x + 24 x + 9)]$

Paso 3.3.2

Suma $24 x$ y $24 x$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 48 x + 9)]$

Paso 3.4

Como $768$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $768 (64 x^{2} + 48 x + 9)$ con respecto a $x$ es $768 \frac{d}{d x} [64 x^{2} + 48 x + 9]$ .

$768 \frac{d}{d x} [64 x^{2} + 48 x + 9]$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $64 x^{2} + 48 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$768 (\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 3.6

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64 x^{2}$ con respecto a $x$ es $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$768 (64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$768 (64 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 3.8

Multiplica $2$ por $64$ .

$768 (128 x + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 3.9

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 x$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$768 (128 x + 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$768 (128 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 3.11

Multiplica $48$ por $1$ .

$768 (128 x + 48 + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 3.12

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$768 (128 x + 48 + 0)$

Paso 3.13

Suma $128 x + 48$ y $0$ .

$768 (128 x + 48)$

Paso 3.14

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$768 (128 x) + 768 \cdot 48$

Paso 3.14.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.14.2.1

Multiplica $128$ por $768$ .

$98304 x + 768 \cdot 48$

Paso 3.14.2.2

Multiplica $768$ por $48$ .

$f''' (x) = 98304 x + 36864$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $98304 x + 36864$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [98304 x] + \frac{d}{d x} [36864]$ .

$\frac{d}{d x} [98304 x] + \frac{d}{d x} [36864]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [98304 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Como $98304$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $98304 x$ con respecto a $x$ es $98304 \frac{d}{d x} [x]$ .

$98304 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36864]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$98304 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36864]$

Paso 4.2.3

Multiplica $98304$ por $1$ .

$98304 + \frac{d}{d x} [36864]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Como $36864$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36864$ con respecto a $x$ es $0$ .

$98304 + 0$

Paso 4.3.2

Suma $98304$ y $0$ .

$f^{4} (x) = 98304$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $98304$ .

$98304$