Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 16}{2 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2} + 16}{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 16}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 16}{x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 16$ y $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.3

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.9

Combina fracciones.

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Paso 1.9.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{x^{2}}$

Paso 1.9.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{2 x^{2}}$

Paso 1.10

Simplifica.

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Paso 1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 16}{2 x^{2}}$

Paso 1.10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 16}{2 x^{2}}$

Paso 1.10.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 16}{2 x^{2}}$

Paso 1.10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.10.3.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{2 x^{2}}$

Paso 1.10.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$f' (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}]$

Paso 2.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)] - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)] - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)] - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 4$ y $g (x) = x - 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5.4.2

Multiplica $x + 4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5.7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) (1 + 0)) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.5.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) \cdot 1) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5.8.2

Multiplica $x - 4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + x - 4) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 4 - 4) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.5.8.4.1

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5.8.4.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 x) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.7

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} - (x + 4) (x - 4) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.9

Combina fracciones.

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Paso 2.9.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x + 4) (x - 4) x}{x^{4}}$

Paso 2.9.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 4) (x - 4) x}{x^{4}}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x + 4) (x - 4) x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10

Simplifica.

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Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 4) (x - 4) x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.10.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 8) (x - 4) x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.2

Expande $(- 2 x - 8) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.10.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 4) - 8 (x - 4)) x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4 - 8 (x - 4)) x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.10.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.10.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.2.1.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.3.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8 x - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.3.1.3

Multiplica $- 8$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8 x - 8 x + 32) x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.3.2

Resta $8 x$ de $8 x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 32) x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.3.3

Suma $- 2 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 32) x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 32 x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.10.2.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 32 x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.10.2.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) + 32 x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 32 x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 32 x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2.2

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{0 + 32 x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.2.3

Suma $0$ y $32 x$ .

$\frac{32 x}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.3

Combina los términos.

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Paso 2.10.3.1

Cancela el factor común de $32$ y $2$ .

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Paso 2.10.3.1.1

Factoriza $2$ de $32 x$ .

$\frac{2 (16 x)}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.10.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{4}$ .

$\frac{2 (16 x)}{2 (x^{4})}$

Paso 2.10.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (16 x)}{2 x^{4}}$

Paso 2.10.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{16 x}{x^{4}}$

Paso 2.10.3.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 2.10.3.2.1

Factoriza $x$ de $16 x$ .

$\frac{x \cdot 16}{x^{4}}$

Paso 2.10.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.10.3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot 16}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.10.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 16}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.10.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{16}{x^{3}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{16}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Paso 3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$16 (- 3 x^{- 4})$

Paso 3.4

Multiplica $- 3$ por $16$ .

$- 48 x^{- 4}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 48 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 3.5.2

Combina los términos.

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Paso 3.5.2.1

Combina $- 48$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 48}{x^{4}}$

Paso 3.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{48}{x^{4}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $- 48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{48}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 4.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Paso 4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$- 48 (- 4 x^{- 5})$

Paso 4.4

Multiplica $- 4$ por $- 48$ .

$192 x^{- 5}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$192 \frac{1}{x^{5}}$

Paso 4.5.2

Combina $192$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{192}{x^{5}}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{192}{x^{5}}$ .

$\frac{192}{x^{5}}$