Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos^{2} (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Paso 1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.4

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.7

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.8

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Paso 2.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Paso 2.10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Paso 2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Paso 2.12

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Paso 2.13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x))$

Paso 2.13.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - 2 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = - 2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Paso 3.2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - 2 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Paso 3.2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f''' (x) = - 2 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Paso 3.2.5

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x))$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Paso 3.3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$

Paso 3.4

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Reordena los factores de $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 4 \cos (x) \sin (x)$

Paso 3.4.2

Suma $4 \cos (x) \sin (x)$ y $4 \cos (x) \sin (x)$ .

$f''' (x) = 8 \cos (x) \sin (x)$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \cos (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = 8 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Paso 4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 4.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 4.4

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 4.5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 4.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = 8 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 4.7

Suma $1$ y $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 4.8

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Paso 4.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Paso 4.10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Paso 4.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Paso 4.12

Suma $1$ y $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Paso 4.13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = 8 \cos^{2} (x) + 8 (- \sin^{2} (x))$

Paso 4.13.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f^{4} (x) = 8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$ .

$8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$