Cálculo Ejemplos

$\int \frac{6}{\sqrt{x}} + 6 \sqrt{x} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{6}{\sqrt{x}} d x + \int 6 \sqrt{x} d x$

Paso 2

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 6 \sqrt{x} d x$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 6 \sqrt{x} d x$

Paso 3.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$6 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 6 \sqrt{x} d x$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 6 \sqrt{x} d x$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$6 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 6 \sqrt{x} d x$

Paso 3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 6 \sqrt{x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 6 \sqrt{x} d x$

Paso 5

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 6 \int \sqrt{x} d x$

Paso 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 6 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$12 x^{\frac{1}{2}} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 x^{\frac{1}{2}} + 6 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Paso 8.2.2

Combina $6$ y $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$12 x^{\frac{1}{2}} + \frac{6 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Paso 8.2.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$12 x^{\frac{1}{2}} + \frac{12 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Paso 8.2.4

Factoriza $3$ de $12 x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (4 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Paso 8.2.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.5.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$12 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (4 x^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} + C$

Paso 8.2.5.2

Cancela el factor común.

$12 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (4 x^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

Paso 8.2.5.3

Reescribe la expresión.

$12 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{1} + C$

Paso 8.2.5.4

Divide $4 x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$12 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + C$