Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2}{x - 4} - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2}{x - 4} d x + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{x - 4} d x + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = x - 4$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = x - 4$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{3}{2 x + 1} d x$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - (3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Paso 7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Paso 8

Sea $u_{2} = 2 x + 1$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{2} = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 8.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 8.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 8.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 8.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 8.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 8.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 8.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 9.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 3$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 11.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 13

Simplifica.

$2 \ln (| u_{1} |) - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 4$ .

$2 \ln (| x - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x + 1$ .

$2 \ln (| x - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$