Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{r} - \frac{1}{r^{3}} d r$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \sqrt{r} d r + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{r}$ como $r^{\frac{1}{2}}$ .

$\int r^{\frac{1}{2}} d r + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $r^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $r$ es $\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $r$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int \frac{1}{r^{3}} d r$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $r^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int {(r^{3})}^{- 1} d r$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(r^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int r^{3 \cdot - 1} d r$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int r^{- 3} d r$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $r^{- 3}$ con respecto a $r$ es $- \frac{1}{2} r^{- 2}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{1}{2} r^{- 2} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $r^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{r^{- 2}}{2} + C)$

Paso 7.1.2

Mueve $r^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{1}{2 r^{2}} + C)$

Paso 7.2

Simplifica.

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} - - \frac{1}{2 r^{2}} + C$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{1}{2 r^{2}} + C$

Paso 7.3.2

Multiplica $\frac{1}{2 r^{2}}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 r^{2}} + C$