Cálculo Ejemplos

$\int t^{3} + e^{5 t} d t$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int t^{3} d t + \int e^{5 t} d t$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{3}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int e^{5 t} d t$

Paso 3

Sea $u = 5 t$ . Entonces $d u = 5 d t$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 5 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Paso 3.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 t$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Paso 4

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \frac{1}{5} \int e^{u} d u$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \frac{1}{5} (e^{u} + C)$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{5} e^{u} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 t$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{5} e^{5 t} + C$