Cálculo Ejemplos

$\int {(x^{8} + 6)}^{7} (8 x^{7}) d x$

Paso 1

Mueve $8$ a la izquierda de ${(x^{8} + 6)}^{7}$ .

$\int 8 {(x^{8} + 6)}^{7} x^{7} d x$

Paso 2

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int {(x^{8} + 6)}^{7} x^{7} d x$

Paso 3

Sea $u = x^{8} + 6$ . Entonces $d u = 8 x^{7} d x$ , de modo que $\frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = x^{8} + 6$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x^{8} + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} + 6]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{8} + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$8 x^{7} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 3.1.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 x^{7} + 0$

Paso 3.1.5

Suma $8 x^{7}$ y $0$ .

$8 x^{7}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$8 \int u^{7} \frac{1}{8} d u$

Paso 4

Combina $u^{7}$ y $\frac{1}{8}$ .

$8 \int \frac{u^{7}}{8} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$8 (\frac{1}{8} \int u^{7} d u)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $8$ .

$\frac{8}{8} \int u^{7} d u$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{8} \int u^{7} d u$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int u^{7} d u$

Paso 6.3

Multiplica $\int u^{7} d u$ por $1$ .

$\int u^{7} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{7}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{8} + 6$ .

$\frac{1}{8} {(x^{8} + 6)}^{8} + C$