Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x^{2} - x + 4}{x^{3} + 4 x} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + 4 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x \cdot x^{2} + 4 x}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot 4}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x (x^{2} + 4)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x^{2} + 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.1.5.2

Divide $2 x^{2} - x + 4$ por $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.1.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - x + 4 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.1.6.1.2

Divide $A (x^{2} + 4)$ por $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.1.6.3

Mueve $4$ a la izquierda de $A$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.1.6.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.1.6.4.2

Divide $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x)$

Paso 1.1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + C x$

Paso 1.1.6.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.6.1

Mueve $x$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + C x$

Paso 1.1.6.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + C x$

Paso 1.1.7

Mueve $4 A$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 4 A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$4 = 4 A$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$2 = A + B$

$- 1 = C$

$4 = 4 A$

$2 = A + B$

$- 1 = C$

$4 = 4 A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Reescribe la ecuación como $C = - 1$ .

$C = - 1$

$2 = A + B$

$4 = 4 A$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- 1$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Reescribe la ecuación como $4 A = 4$ .

$4 A = 4$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Paso 1.3.2.2

Divide cada término en $4 A = 4$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1

Divide cada término en $4 A = 4$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Paso 1.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 A}{4} = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Paso 1.3.2.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Paso 1.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.3.1

Divide $4$ por $4$ .

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $2 = A + B$ por $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = - 1$

Paso 1.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

Paso 1.3.4

Resuelve $B$ en $2 = 1 + B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = - 1$

Paso 1.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = - 1$

Paso 1.3.4.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

Paso 1.3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 1 A = 1 C = - 1$

Paso 1.3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = 1, A = 1, C = - 1$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1 x - 1}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x - 1}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\int \frac{1}{x} + \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

Paso 4

Divide la fracción $\frac{x - 1}{x^{2} + 4}$ en dos fracciones.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} + \frac{- 1}{x^{2} + 4} d x$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Paso 7

Sea $u = x^{2} + 4$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Deja $u = x^{2} + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Diferencia $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 7.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 7.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Paso 8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Paso 8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{2 u} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Paso 11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Paso 12

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Reordena $x^{2}$ y $4$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Paso 12.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Paso 13

La integral de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Paso 14

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Paso 14.2

Simplifica.

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 4$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$