Cálculo Ejemplos

$\int (x + 4) \sqrt{3 - x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x + 4$ y $d v = \sqrt{3 - x}$ .

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 2

Dado que $- \frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} \int {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Paso 3

Sea $u = 3 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 3 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $3 - x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - x]$

Paso 3.1.2

Diferencia.

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Paso 3.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 3.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Combina ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$(x + 4) (- \frac{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

Paso 6.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 4) (- \frac{2 \cdot {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

Paso 6.1.3

Combina $\frac{2}{5}$ y $u^{\frac{5}{2}}$ .

$(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)))$

Paso 6.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (1 (\frac{2}{3}) (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Paso 6.1.5

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Paso 6.2

Reescribe $(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$ como $- x \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ .

$- x \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Combina $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $x$ .

$- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{- 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 6.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 6.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 6.3.4

Multiplica $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5 \cdot 3} + C$

Paso 6.3.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Paso 6.3.6

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - x$ .

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 {(3 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Paso 8

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} (- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{15} {(3 - x)}^{\frac{5}{2}} + C$