Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{6} (x)} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Multiplica por $1$ .

$\int \frac{\cos^{4} (x) \cdot 1}{\sin^{6} (x)} d x$

Paso 1.2

Factoriza $\sin^{4} (x)$ de $\sin^{6} (x)$ .

$\int \frac{\cos^{4} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x) \sin^{2} (x)} d x$

Paso 1.3

Separa las fracciones.

$\int \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{4} (x)} d x$

Paso 1.4

Convierte de $\frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{4} (x)}$ a $\cot^{4} (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cot^{4} (x) d x$

Paso 1.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cot^{4} (x) d x$

Paso 1.6

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cot^{4} (x) d x$

Paso 1.7

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) \cot^{4} (x) d x$

Paso 2

Sea $u = \cot (x)$ . Entonces $d u = - \csc^{2} (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\csc^{2} (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \cot (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - 1 u^{4} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int u^{4} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Paso 5

Reescribe $- (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ como $- \frac{1}{5} u^{5} + C$ .

$- \frac{1}{5} u^{5} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cot (x)$ .

$- \frac{1}{5} \cot^{5} (x) + C$