Cálculo Ejemplos

$\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x} + 1}} d x$

Paso 1

Sea $u = e^{x} + 1$ . Entonces $d u = e^{x} d x$ , de modo que $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = e^{x} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x} + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$e^{x}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x} + 1$ .

$2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$