Cálculo Ejemplos

$\int \frac{e^{x}}{1 - e^{x}} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - e^{x}$ . Entonces $d u = - e^{x} d x$ , de modo que $- \frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - e^{x}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 - e^{x}$

Paso 1.1.4

Resta $e^{x}$ de $0$ .

$- e^{x}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C)$

Paso 5

Simplifica.

$- \ln (| u |) + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - e^{x}$ .

$- \ln (| 1 - e^{x} |) + C$