Cálculo Ejemplos

$\int \frac{e^{u}}{{(2 - e^{u})}^{2}} d u$

Paso 1

Sea $u_{1} = 2 - e^{u}$ . Entonces $d u_{1} = - e^{u} d u$ , de modo que $- \frac{1}{e^{u}} d u_{1} = d u$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 2 - e^{u}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 - e^{u}$ .

$\frac{d}{d u} [2 - e^{u}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - e^{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [2] + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$ .

$\frac{d}{d u} [2] + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$

Paso 1.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $2$ con respecto a $u$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u} [- e^{u}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $- e^{u}$ con respecto a $u$ es $- \frac{d}{d u} [e^{u}]$ .

$0 - \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 - e^{u}$

Paso 1.1.4

Resta $e^{u}$ de $0$ .

$- e^{u}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $- (- {u_{1}}^{- 1} + C)$ como $- - \frac{1}{u_{1}} + C$ .

$- - \frac{1}{u_{1}} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{u_{1}} + C$

Paso 6.2.2

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $1$ .

$\frac{1}{u_{1}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 - e^{u}$ .

$\frac{1}{2 - e^{u}} + C$