Cálculo Ejemplos

$\int {(\csc (x) - \tan (x))}^{2} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\csc (x) - \tan (x))}^{2}$ como $(\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x))$ .

$\int (\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

Paso 1.2

Expande $(\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \csc (x) (\csc (x) - \tan (x)) - \tan (x) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $\csc (x) \csc (x)$ .

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Paso 1.3.1.1.1

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \csc^{1} (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Paso 1.3.1.1.2

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Paso 1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\csc (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Paso 1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int \csc^{2} (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Paso 1.3.1.2

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.1.2.1

Reordena $\csc (x)$ y $- \tan (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Paso 1.3.1.2.2

Agrega paréntesis.

$\int \csc^{2} (x) - (\tan (x) \csc (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Paso 1.3.1.2.3

Reescribe $\csc (x) (- \tan (x))$ en términos de senos y cosenos.

$\int \csc^{2} (x) - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Paso 1.3.1.2.4

Cancela los factores comunes.

$\int \csc^{2} (x) - \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Paso 1.3.1.3

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Paso 1.3.1.4

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.1.4.1

Agrega paréntesis.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - (\tan (x) \csc (x)) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Paso 1.3.1.4.2

Reescribe $- \tan (x) \csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Paso 1.3.1.4.3

Cancela los factores comunes.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Paso 1.3.1.5

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Paso 1.3.1.6

Multiplica $- \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Paso 1.3.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + 1 \tan (x) \tan (x) d x$

Paso 1.3.1.6.2

Multiplica $\tan (x)$ por $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Paso 1.3.1.6.3

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

Paso 1.3.1.6.4

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

Paso 1.3.1.6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

Paso 1.3.1.6.6

Suma $1$ y $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Paso 1.3.2

Resta $\sec (x)$ de $- \sec (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - 2 \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \csc^{2} (x) d x + \int - 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Paso 3

Como la derivada de $- \cot (x)$ es $\csc^{2} (x)$ , la integral de $\csc^{2} (x)$ es $- \cot (x)$ .

$- \cot (x) + C + \int - 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Paso 4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$- \cot (x) + C - 2 \int \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Paso 5

La integral de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \tan^{2} (x) d x$

Paso 6

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 9

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \tan (x) + C$

Paso 10

Simplifica.

$- \cot (x) - 2 \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) - x + \tan (x) + C$