Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\tan (3 x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Paso 1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\tan (3 \cdot 0)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Paso 1.3.3.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\tan (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 7 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Paso 3.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) (7 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Paso 3.5

Multiplica $7$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Paso 3.6

Mueve $7$ a la izquierda de $\cos (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cdot \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Paso 3.7

Multiplica $7$ por $\cos (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.8.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)}$

Paso 3.11

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3}$

Paso 3.12

Mueve $3$ a la izquierda de $\sec^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{3 \cdot \sec^{2} (3 x)}$

Paso 3.13

Multiplica $3$ por $\sec^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{3 \sec^{2} (3 x)}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{7}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{7}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x)}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Paso 6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Paso 7

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (3 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}}$

Paso 9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Paso 10

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Combinar.

$\frac{7 \cos (7 \cdot 0)}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Paso 12.2

Factoriza $\sec (3 \cdot 0)$ de $\sec^{2} (3 \cdot 0)$ .

$\frac{7 \cos (7 \cdot 0)}{3 (\sec (3 \cdot 0) \sec (3 \cdot 0))}$

Paso 12.3

Separa las fracciones.

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec (3 \cdot 0)}$

Paso 12.4

Reescribe $\sec (3 \cdot 0)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}}$

Paso 12.5

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$ .

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} (\cos (7 \cdot 0) \cos (3 \cdot 0))$

Paso 12.6

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (7 \cdot 0) \cos (3 \cdot 0))$

Paso 12.7

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (0) \cos (3 \cdot 0))$

Paso 12.8

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

Paso 12.9

Separa las fracciones.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

Paso 12.10

Reescribe $\sec (0)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}} (\cos (0) \cos (0))$

Paso 12.11

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (0)}$ .

$\frac{7}{3} (1 \cos (0)) (\cos (0) \cos (0))$

Paso 12.12

Multiplica $\cos (0)$ por $1$ .

$\frac{7}{3} \cos (0) (\cos (0) \cos (0))$

Paso 12.13

Multiplica $\cos (0)$ por $\cos (0)$ sumando los exponentes.

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Paso 12.13.1

Mueve $\cos (0)$ .

$\frac{7}{3} (\cos (0) \cos (0)) \cos (0)$

Paso 12.13.2

Multiplica $\cos (0)$ por $\cos (0)$ .

$\frac{7}{3} \cos^{2} (0) \cos (0)$

Paso 12.14

Multiplica $\cos^{2} (0)$ por $\cos (0)$ sumando los exponentes.

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Paso 12.14.1

Mueve $\cos (0)$ .

$\frac{7}{3} (\cos (0) \cos^{2} (0))$

Paso 12.14.2

Multiplica $\cos (0)$ por $\cos^{2} (0)$ .

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Paso 12.14.2.1

Eleva $\cos (0)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7}{3} (\cos^{1} (0) \cos^{2} (0))$

Paso 12.14.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{7}{3} {\cos (0)}^{1 + 2}$

Paso 12.14.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{7}{3} \cos^{3} (0)$

Paso 12.15

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{7}{3} \cdot 1^{3}$

Paso 12.16

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{7}{3} \cdot 1$

Paso 12.17

Multiplica $\frac{7}{3}$ por $1$ .

$\frac{7}{3}$