Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Paso 1.3.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Paso 4.3

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Paso 4.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (0)}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$

Paso 6.2

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$ como ${(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$

Paso 6.3

Reescribe $\sec (0)$ en términos de senos y cosenos.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}})}^{2}$

Paso 6.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (0)}$ .

${(1 \cos (0))}^{2}$

Paso 6.5

Multiplica $\cos (0)$ por $1$ .

$\cos^{2} (0)$

Paso 6.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$1^{2}$

Paso 6.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1$