Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.2.4

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.6.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.2.6.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.2.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.2.6.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.4.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.4.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (- 1 e^{- x})}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.4.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.4.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.4.9

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (x)}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 6

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 7

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 8

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 10.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (0)}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 + e^{0}}{\cos (0)}$

Paso 11.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 + 1}{\cos (0)}$

Paso 11.1.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{\cos (0)}$

Paso 11.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{2}{1}$

Paso 11.3

Divide $2$ por $1$ .

$2$