Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x^{2})}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 1} x)}^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\ln (1^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.3.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x^{2})}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.4

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.5

Combina $\frac{2}{x^{2}}$ y $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.6.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x + 0}$

Paso 3.10

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Paso 5

Combina factores.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{2}{x}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{x (2 x)}$

Paso 5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 (x^{1} x)}$

Paso 5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 (x^{1} x^{1})}$

Paso 5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{1 + 1}}$

Paso 5.5

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{2}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x^{2}}$

Paso 6.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Paso 6.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Paso 6.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Paso 7

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{1^{2}}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{1}$

Paso 8.2

Divide $1$ por $1$ .

$1$