Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{8} k (6 k + 7)$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$k (6 k) + k \cdot 7$

Paso 1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 k \cdot k + k \cdot 7$

Paso 1.3

Mueve $7$ a la izquierda de $k$ .

$6 k \cdot k + 7 \cdot k$

Paso 1.4

Multiplica $k$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1

Mueve $k$ .

$6 (k \cdot k) + 7 \cdot k$

Paso 1.4.2

Multiplica $k$ por $k$ .

$6 k^{2} + 7 \cdot k$

$6 k^{2} + 7 k$

Paso 1.5

Reescribe la suma.

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k = 6 \sum_{k = 1}^{8} k^{2} + 7 \sum_{k = 1}^{8} k$

Paso 3

Evalúa $6 \sum_{k = 1}^{8} k^{2}$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(6) (\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Suma $8$ y $1$ .

$6 \frac{8 \cdot 9 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.2

Combina exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Multiplica $8$ por $9$ .

$6 \frac{72 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$6 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.3

Suma $16$ y $1$ .

$6 \frac{72 \cdot 17}{6}$

Paso 3.3.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $72$ por $17$ .

$6 (\frac{1224}{6})$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$6 (\frac{1224}{6})$

Paso 3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1224$

Paso 4

Evalúa $7 \sum_{k = 1}^{8} k$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(7) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Suma $8$ y $1$ .

$7 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Paso 4.3.2

Multiplica $8$ por $9$ .

$7 (\frac{72}{2})$

Paso 4.3.3

Divide $72$ por $2$ .

$7 \cdot 36$

Paso 4.3.4

Multiplica $7$ por $36$ .

$252$

Paso 5

Suma los resultados de las sumas.

$1224 + 252$

Paso 6

Suma $1224$ y $252$ .

$1476$