Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{30} k (k - 2) (k + 2)$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(k \cdot k + k \cdot - 2) (k + 2)$

Paso 1.2

Multiplica $k$ por $k$ .

$(k^{2} + k \cdot - 2) (k + 2)$

Paso 1.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $k$ .

$(k^{2} - 2 \cdot k) (k + 2)$

Paso 1.4

Expande $(k^{2} - 2 k) (k + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$k^{2} (k + 2) - 2 k (k + 2)$

Paso 1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k (k + 2)$

Paso 1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Paso 1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Multiplica $k^{2}$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.1.1.1

Multiplica $k^{2}$ por $k$ .

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Paso 1.5.1.1.1.1

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Paso 1.5.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Paso 1.5.1.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$k^{3} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Paso 1.5.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $k^{2}$ .

$k^{3} + 2 \cdot k^{2} - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Paso 1.5.1.3

Multiplica $k$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.1.3.1

Mueve $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k \cdot k) - 2 k \cdot 2$

Paso 1.5.1.3.2

Multiplica $k$ por $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 2 k \cdot 2$

Paso 1.5.1.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 4 k$

Paso 1.5.2

Resta $2 k^{2}$ de $2 k^{2}$ .

$k^{3} + 0 - 4 k$

Paso 1.5.3

Suma $k^{3}$ y $0$ .

$k^{3} - 4 k$

Paso 1.6

Reescribe la suma.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k = \sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 \sum_{k = 1}^{30} k$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{30} k^{3}$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $3$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{30^{2} {(30 + 1)}^{2}}{4}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Suma $30$ y $1$ .

$\frac{30^{2} \cdot 31^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.2

Eleva $30$ a la potencia de $2$ .

$\frac{900 \cdot 31^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.3

Eleva $31$ a la potencia de $2$ .

$\frac{900 \cdot 961}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $900$ por $961$ .

$\frac{864900}{4}$

Paso 3.3.2.2

Divide $864900$ por $4$ .

$216225$

Paso 4

Evalúa $4 \sum_{k = 1}^{30} k$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 4) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1.1

Suma $30$ y $1$ .

$- 4 \frac{30 \cdot 31}{2}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $30$ por $31$ .

$- 4 (\frac{930}{2})$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{930}{2}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 2 \frac{930}{2}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 2 \cdot 930$

Paso 4.3.3

Multiplica $- 2$ por $930$ .

$- 1860$

Paso 5

Suma los resultados de las sumas.

$216225 - 1860$

Paso 6

Resta $1860$ de $216225$ .

$214365$