Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 0}^{10} 4 {(\frac{1}{2})}^{k}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{k}$ y $a_{k + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ y ${(\frac{1}{2})}^{k}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza ${(\frac{1}{2})}^{k}$ de ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$r = \frac{1}{2}$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $0$ por $k$ en $4 {(\frac{1}{2})}^{k}$ .

$a = 4 {(\frac{1}{2})}^{0}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$a = 4 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Paso 3.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 4 \frac{1}{2^{0}}$

Paso 3.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.2.4.1

Cancela el factor común.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Paso 3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$a = 4 \cdot 1$

Paso 3.2.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$a = 4$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Paso 5.1.1

Multiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}})$

Paso 5.1.2

Combinar.

$4 \frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Paso 5.3.3

Reescribe la expresión.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 \frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{2 + 2 (- \frac{1^{11}}{2^{11}})}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1^{11}}{2^{11}}$ al numerador.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2^{11}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $2$ de $2^{11}$ .

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.3.3

Cancela el factor común.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.3.4

Reescribe la expresión.

$4 \frac{2 + \frac{- 1^{11}}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.5

Eleva $2$ a la potencia de $10$ .

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 \frac{2 + \frac{- 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \frac{2 - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.8

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1024}{1024}$ .

$4 \frac{2 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.9

Combina $2$ y $\frac{1024}{1024}$ .

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.11.1

Multiplica $2$ por $1024$ .

$4 \frac{\frac{2048 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.11.2

Resta $1$ de $2048$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 - 1}$

Paso 5.5.2

Resta $1$ de $2$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{1}$

Paso 5.6

Divide $\frac{2047}{1024}$ por $1$ .

$4 (\frac{2047}{1024})$

Paso 5.7

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.7.1

Factoriza $4$ de $1024$ .

$4 \frac{2047}{4 (256)}$

Paso 5.7.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{2047}{4 \cdot 256}$

Paso 5.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2047}{256}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2047}{256}$

Forma decimal:

$7.99609375$

Forma de número mixto:

$7 \frac{255}{256}$