Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{8} {(\frac{1}{3})}^{n}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de ${(\frac{1}{3})}^{n + 1}$ y ${(\frac{1}{3})}^{n}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza ${(\frac{1}{3})}^{n}$ de ${(\frac{1}{3})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n}}$

Paso 2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{\frac{1}{3}}{1}$

Paso 2.2.2.4

Divide $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$r = \frac{1}{3}$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $n$ en ${(\frac{1}{3})}^{n}$ .

$a = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Paso 3.2

Simplifica.

$a = \frac{1}{3}$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Paso 5.1.1

Multiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}})$

Paso 5.1.2

Combinar.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Paso 5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ al numerador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $3$ de $3^{8}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.5

Eleva $3$ a la potencia de $7$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.8

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.9

Combina $3$ y $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.11.1

Multiplica $3$ por $2187$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.11.2

Resta $1$ de $6561$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

Paso 5.5.2

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

Paso 5.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{3} (\frac{6560}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.7.1

Factoriza $2$ de $6560$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 (3280)}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3280}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$

Paso 5.8

Multiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$ .

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Paso 5.8.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{3280}{2187}$ .

$\frac{3280}{3 \cdot 2187}$

Paso 5.8.2

Multiplica $3$ por $2187$ .

$\frac{3280}{6561}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3280}{6561}$

Forma decimal:

$0.49992379 \dots$