Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{22} i {(i - 1)}^{2}$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Reescribe ${(i - 1)}^{2}$ como $(i - 1) (i - 1)$ .

$i ((i - 1) (i - 1))$

Paso 1.2

Expande $(i - 1) (i - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$i (i (i - 1) - 1 (i - 1))$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1))$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $i$ por $i$ .

$i (i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $i$ .

$i (i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.3.1.3

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$i (i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.3.1.4

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$i (i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$i (i^{2} - i - i + 1)$

Paso 1.3.2

Resta $i$ de $- i$ .

$i (i^{2} - 2 i + 1)$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$i \cdot i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $i$ por $i^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.1.1

Multiplica $i$ por $i^{2}$ .

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Paso 1.5.1.1.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$i^{1} i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Paso 1.5.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$i^{1 + 2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Paso 1.5.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$i^{3} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Paso 1.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$i^{3} - 2 i \cdot i + i \cdot 1$

Paso 1.5.3

Multiplica $i$ por $1$ .

$i^{3} - 2 i \cdot i + i$

Paso 1.6

Multiplica $i$ por $i$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1

Mueve $i$ .

$i^{3} - 2 (i \cdot i) + i$

Paso 1.6.2

Multiplica $i$ por $i$ .

$i^{3} - 2 i^{2} + i$

Paso 1.7

Reescribe la suma.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i = \sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2} + \sum_{i = 1}^{22} i$

Paso 3

Evalúa $\sum_{i = 1}^{22} i^{3}$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $3$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{22^{2} {(22 + 1)}^{2}}{4}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Suma $22$ y $1$ .

$\frac{22^{2} \cdot 23^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.2

Eleva $22$ a la potencia de $2$ .

$\frac{484 \cdot 23^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.3

Eleva $23$ a la potencia de $2$ .

$\frac{484 \cdot 529}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $484$ por $529$ .

$\frac{256036}{4}$

Paso 3.3.2.2

Divide $256036$ por $4$ .

$64009$

Paso 4

Evalúa $2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2}$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 2) (\frac{22 (22 + 1) (2 \cdot 22 + 1)}{6})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1.1

Suma $22$ y $1$ .

$- 2 \frac{22 \cdot 23 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

Paso 4.3.1.2

Combina exponentes.

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Paso 4.3.1.2.1

Multiplica $22$ por $23$ .

$- 2 \frac{506 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $22$ .

$- 2 \frac{506 (44 + 1)}{6}$

Paso 4.3.1.3

Suma $44$ y $1$ .

$- 2 \frac{506 \cdot 45}{6}$

Paso 4.3.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $506$ por $45$ .

$- 2 (\frac{22770}{6})$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{22770}{6}$

Paso 4.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$- 1 (\frac{22770}{3})$

Paso 4.3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.3.1

Divide $22770$ por $3$ .

$- 1 \cdot 7590$

Paso 4.3.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $7590$ .

$- 7590$

Paso 5

Evalúa $\sum_{i = 1}^{22} i$ .

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Paso 5.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 5.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{22 (22 + 1)}{2}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $22$ y $2$ .

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Paso 5.3.1.1

Factoriza $2$ de $22 (22 + 1)$ .

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2}$

Paso 5.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 (1)}$

Paso 5.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{11 (22 + 1)}{1}$

Paso 5.3.1.2.4

Divide $11 (22 + 1)$ por $1$ .

$11 (22 + 1)$

Paso 5.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.2.1

Suma $22$ y $1$ .

$11 \cdot 23$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $11$ por $23$ .

$253$

Paso 6

Suma los resultados de las sumas.

$64009 - 7590 + 253$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Resta $7590$ de $64009$ .

$56419 + 253$

Paso 7.2

Suma $56419$ y $253$ .

$56672$