Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{8} - 4 k^{2} + 6 k$

Paso 1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{8} - 4 k^{2} + 6 k = - 4 \sum_{k = 1}^{8} k^{2} + 6 \sum_{k = 1}^{8} k$

Paso 2

Evalúa $4 \sum_{k = 1}^{8} k^{2}$ .

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Paso 2.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 2.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 4) (\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6})$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1.1

Suma $8$ y $1$ .

$- 4 \frac{8 \cdot 9 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Paso 2.3.1.2

Combina exponentes.

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Paso 2.3.1.2.1

Multiplica $8$ por $9$ .

$- 4 \frac{72 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$- 4 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

Paso 2.3.1.3

Suma $16$ y $1$ .

$- 4 \frac{72 \cdot 17}{6}$

Paso 2.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $72$ por $17$ .

$- 4 (\frac{1224}{6})$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{1224}{6}$

Paso 2.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 \cdot - 2 \frac{1224}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 2 \frac{1224}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$- 2 (\frac{1224}{3})$

Paso 2.3.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{1224}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 1224}{3}$

Paso 2.3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.4.1

Multiplica $- 2$ por $1224$ .

$\frac{- 2448}{3}$

Paso 2.3.2.4.2

Divide $- 2448$ por $3$ .

$- 816$

Paso 3

Evalúa $6 \sum_{k = 1}^{8} k$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(6) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1.1

Suma $8$ y $1$ .

$6 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $8$ por $9$ .

$6 (\frac{72}{2})$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{72}{2}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 3 \frac{72}{2}$

Paso 3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$3 \cdot 72$

Paso 3.3.3

Multiplica $3$ por $72$ .

$216$

Paso 4

Suma los resultados de las sumas.

$- 816 + 216$

Paso 5

Suma $- 816$ y $216$ .

$- 600$