Cálculo Ejemplos

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

Paso 1

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $j$ sea igual a $1$ .

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = \sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} - \sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

Paso 2

Evalúa $\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

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Paso 2.1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = 6 \sum_{j = 1}^{30} j + \sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$

Paso 2.2

Evalúa $6 \sum_{j = 1}^{30} j$ .

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Paso 2.2.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 2.2.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(6) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.1.1

Suma $30$ y $1$ .

$6 \frac{30 \cdot 31}{2}$

Paso 2.2.3.1.2

Multiplica $30$ por $31$ .

$6 (\frac{930}{2})$

Paso 2.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{930}{2}$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 3 \frac{930}{2}$

Paso 2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$3 \cdot 930$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $3$ por $930$ .

$2790$

Paso 2.3

Evalúa $\sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $- \frac{4}{3}$ fuera de la suma.

$(- \frac{4}{3}) \sum_{j = 1}^{30} j^{2}$

Paso 2.3.2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 2.3.3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- \frac{4}{3}) (\frac{30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{6})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.4.1.1

Suma $30$ y $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{30 \cdot 31 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Paso 2.3.4.1.2

Combina exponentes.

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Paso 2.3.4.1.2.1

Multiplica $30$ por $31$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Paso 2.3.4.1.2.2

Multiplica $2$ por $30$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (60 + 1)}{6}$

Paso 2.3.4.1.3

Suma $60$ y $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 \cdot 61}{6}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.4.2.1

Multiplica $930$ por $61$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Paso 2.3.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{3}$ al numerador.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Paso 2.3.4.2.2.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Paso 2.3.4.2.2.3

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.4.2.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.4.2.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{56730}{3}$

Paso 2.3.4.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.4.2.3.1

Factoriza $3$ de $56730$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 (18910)}{3}$

Paso 2.3.4.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 18910}{3}$

Paso 2.3.4.2.3.3

Reescribe la expresión.

$- 2 (\frac{18910}{3})$

Paso 2.3.4.2.4

Combina $- 2$ y $\frac{18910}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 18910}{3}$

Paso 2.3.4.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.4.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $18910$ .

$\frac{- 37820}{3}$

Paso 2.3.4.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{37820}{3}$

Paso 2.4

Suma los resultados de las sumas.

$2790 - \frac{37820}{3}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Para escribir $2790$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2790 \cdot \frac{3}{3} - \frac{37820}{3}$

Paso 2.5.2

Combina $2790$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2790 \cdot 3}{3} - \frac{37820}{3}$

Paso 2.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2790 \cdot 3 - 37820}{3}$

Paso 2.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.4.1

Multiplica $2790$ por $3$ .

$\frac{8370 - 37820}{3}$

Paso 2.5.4.2

Resta $37820$ de $8370$ .

$\frac{- 29450}{3}$

Paso 2.5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{29450}{3}$

Paso 3

Evalúa $\sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

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Paso 3.1

Expande la serie para cada valor de $j$ .

$6 \cdot 1 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

Paso 3.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$6 - \frac{4 \cdot 1}{3}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$6 - \frac{4}{3}$

Paso 3.2.2

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$6 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Paso 3.2.3

Combina $6$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Paso 3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 \cdot 3 - 4}{3}$

Paso 3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{18 - 4}{3}$

Paso 3.2.5.2

Resta $4$ de $18$ .

$\frac{14}{3}$

Paso 4

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$- \frac{29450}{3} - \frac{14}{3}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 29450 - 14}{3}$

Paso 5.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1

Resta $14$ de $- 29450$ .

$\frac{- 29464}{3}$

Paso 5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{29464}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{29464}{3}$

Forma decimal:

$- 9821.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$- 9821 \frac{1}{3}$