Cálculo Ejemplos

$x^{2} e^{- x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$

Paso 1.4.2

Reordena los factores en $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2} e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$- (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$- (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Paso 2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Paso 2.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Paso 2.2.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Paso 2.2.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x e^{- x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1)$

Paso 2.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1)$

Paso 2.3.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

Paso 2.3.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

Paso 2.3.10

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x})$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x})$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Paso 2.4.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 (e^{- x} (x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Paso 2.4.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - 2 (x (e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Paso 2.4.3.5

Resta $2 x e^{- x}$ de $- 2 e^{- x} x$ .

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Paso 2.4.3.5.1

Mueve $e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

Paso 2.4.3.5.2

Resta $2 x e^{- x}$ de $- 2 x e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

Paso 2.4.4

Reordena los términos.

$e^{- x} x^{2} - 4 e^{- x} x + 2 e^{- x}$

Paso 2.4.5

Reordena los factores en $e^{- x} x^{2} - 4 e^{- x} x + 2 e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + 2 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.2.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.2.8

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.3.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.3.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.3.10

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $- x$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $- x$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 3.4.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 3.4.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Paso 3.4.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (- e^{- x})$

Paso 3.4.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 2 e^{- x}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x})) - 4 e^{- x} - 2 e^{- x}$

Paso 3.5.2

Combina los términos.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) + 4 (x (e^{- x})) - 4 e^{- x} - 2 e^{- x}$

Paso 3.5.2.2

Suma $e^{- x} (2 x)$ y $4 x e^{- x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.2.1

Mueve $e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 x e^{- x} + 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} - 2 e^{- x}$

Paso 3.5.2.2.2

Suma $2 x e^{- x}$ y $4 x e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 6 x e^{- x} - 4 e^{- x} - 2 e^{- x}$

Paso 3.5.2.3

Resta $2 e^{- x}$ de $- 4 e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}$

Paso 3.5.3

Reordena los términos.

$- e^{- x} x^{2} + 6 e^{- x} x - 6 e^{- x}$

Paso 3.5.4

Reordena los factores en $- e^{- x} x^{2} + 6 e^{- x} x - 6 e^{- x}$ .

$f''' (x) = - x^{2} e^{- x} + 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} e^{- x} + 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ .

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Paso 4.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2} e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 4.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$- (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$- (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.2.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.2.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x e^{- x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x e^{- x}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.3.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.3.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.3.10

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Paso 4.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 4.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 4.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $- x$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $- x$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 4.4.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 4.4.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (- 1 \cdot e^{- x})$

Paso 4.4.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (- e^{- x})$

Paso 4.4.8

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 6 e^{- x}$

Paso 4.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 6 e^{- x}$

Paso 4.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

Paso 4.5.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

Paso 4.5.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

Paso 4.5.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 (e^{- x} (x)) + 6 (x (- e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

Paso 4.5.3.4

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - 6 (x (e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

Paso 4.5.3.5

Resta $6 x e^{- x}$ de $- 2 e^{- x} x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.3.5.1

Mueve $e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 6 x e^{- x} + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

Paso 4.5.3.5.2

Resta $6 x e^{- x}$ de $- 2 x e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} - 8 x e^{- x} + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

Paso 4.5.3.6

Suma $6 e^{- x}$ y $6 e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} - 8 x e^{- x} + 12 e^{- x}$

Paso 4.5.4

Reordena los términos.

$e^{- x} x^{2} - 8 e^{- x} x + 12 e^{- x}$

Paso 4.5.5

Reordena los factores en $e^{- x} x^{2} - 8 e^{- x} x + 12 e^{- x}$ .

$f^{4} (x) = x^{2} e^{- x} - 8 x e^{- x} + 12 e^{- x}$