Cálculo Ejemplos

$x^{\frac{8}{3}} - 4 x^{\frac{5}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{8}{3}} - 4 x^{\frac{5}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{3}}]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

Paso 1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

Paso 1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

Paso 1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

Paso 1.2.5.2

Resta $3$ de $8$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{\frac{5}{3}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})$

Paso 1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}})$

Paso 1.3.6.2

Resta $3$ de $5$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.3.7

Combina $\frac{5}{3}$ y $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - 4 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.3.8

Combina $- 4$ y $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} + \frac{- 4 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3}$

Paso 1.3.9

Multiplica $5$ por $- 4$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} + \frac{- 20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} - \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.4

Combina $\frac{8}{3}$ y $x^{\frac{5}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{8}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{3}$ .

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Paso 2.2.6.2

Resta $3$ de $5$ .

$\frac{8}{3} (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Paso 2.2.7

Combina $\frac{5}{3}$ y $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Paso 2.2.8

Multiplica $\frac{8}{3}$ por $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{8 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Paso 2.2.9

Multiplica $5$ por $8$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Paso 2.2.10

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- \frac{20}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Paso 2.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 2.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Paso 2.3.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Paso 2.3.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{20}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 2.3.9

Multiplica $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ por $\frac{20}{3}$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} \cdot 20}{3 \cdot 3}$

Paso 2.3.10

Multiplica $20$ por $2$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{40 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3}$

Paso 2.3.11

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{40 x^{- \frac{1}{3}}}{9}$

Paso 2.3.12

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9} - \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $\frac{40}{9}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}$ con respecto a $x$ es $\frac{40}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{40}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 3.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 3.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 3.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 3.2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 3.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{40}{9} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 3.2.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{40}{9} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 3.2.9

Multiplica $\frac{40}{9}$ por $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{40 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{9 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 3.2.10

Multiplica $2$ por $40$ .

$\frac{80 x^{- \frac{1}{3}}}{9 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 3.2.11

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{80 x^{- \frac{1}{3}}}{27} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 3.2.12

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- \frac{40}{9}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{40}{9 x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{40}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 3.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 3.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 3.3.5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 3.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 3.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Paso 3.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 3.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Paso 3.3.9.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Paso 3.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Paso 3.3.11

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 3.3.12

Combina $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 3.3.13

Multiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 3.3.13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Paso 3.3.13.3

Resta $2$ de $- 2$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Paso 3.3.13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Paso 3.3.14

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{9} (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Paso 3.3.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + 1 (\frac{40}{9}) \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.3.16

Multiplica $\frac{40}{9}$ por $1$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{9} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.3.17

Multiplica $\frac{40}{9}$ por $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{9 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Paso 3.3.18

Multiplica $3$ por $9$ .

$f''' (x) = \frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Como $\frac{80}{27}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{80}{27 x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{80}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{80}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{80}{27} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{80}{27} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{80}{27} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{80}{27} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{80}{27} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{80}{27} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$\frac{80}{27} (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.9.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.11

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{80}{27} (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.12

Combina $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{80}{27} (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.13

Multiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{80}{27} (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{80}{27} (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.13.3

Resta $2$ de $- 2$ .

$\frac{80}{27} (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{80}{27} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.14

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{80}{27} (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.15

Multiplica $\frac{80}{27}$ por $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{80}{27 (3 x^{\frac{4}{3}})} + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.2.16

Multiplica $3$ por $27$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $\frac{40}{27}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{40}{27 x^{\frac{4}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{40}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 4.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ como ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{4}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

Paso 4.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- {(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{3}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- {(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Paso 4.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{\frac{4}{3} \cdot - 2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $\frac{4}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 4.3.5.2.1

Combina $\frac{4}{3}$ y $- 2$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{\frac{4 \cdot - 2}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Paso 4.3.5.2.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{\frac{- 8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Paso 4.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Paso 4.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Paso 4.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 4.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 4.3.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}))$

Paso 4.3.9.2

Resta $3$ de $4$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}))$

Paso 4.3.10

Combina $\frac{4}{3}$ y $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3})$

Paso 4.3.11

Combina $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{8}{3}}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 x^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{8}{3}}}{3})$

Paso 4.3.12

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{8}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.12.1

Mueve $x^{- \frac{8}{3}}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 (x^{- \frac{8}{3}} x^{\frac{1}{3}})}{3})$

Paso 4.3.12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 x^{- \frac{8}{3} + \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 4.3.12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 x^{\frac{- 8 + 1}{3}}}{3})$

Paso 4.3.12.4

Suma $- 8$ y $1$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 x^{\frac{- 7}{3}}}{3})$

Paso 4.3.12.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4 x^{- \frac{7}{3}}}{3})$

Paso 4.3.13

Mueve $x^{- \frac{7}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27} (- \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}})$

Paso 4.3.14

Multiplica $\frac{40}{27}$ por $\frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{40 \cdot 4}{27 (3 x^{\frac{7}{3}})}$

Paso 4.3.15

Multiplica $40$ por $4$ .

$- \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{160}{27 (3 x^{\frac{7}{3}})}$

Paso 4.3.16

Multiplica $3$ por $27$ .

$f^{4} (x) = - \frac{80}{81 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{160}{81 x^{\frac{7}{3}}}$