Cálculo Ejemplos

$\arctan (\frac{1 + x}{1 - x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 + x$ y $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.5

Multiplica $1 - x$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.10

Multiplica.

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Paso 3.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.10.2

Multiplica $1 + x$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.12

Simplifica los términos.

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Paso 3.12.1

Multiplica $1 + x$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.12.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.12.3

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.12.4

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.12.5

Multiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}}$ por $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{2}{(1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}) {(1 - x)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{2}{(1 + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2}{(\frac{{(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ y ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de ${(1 - x)}^{2}$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Paso 4.2.4.2

Divide ${(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Reescribe ${(1 - x)}^{2}$ como $(1 - x) (1 - x)$ .

$\frac{2}{(1 - x) (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Expande $(1 - x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{1 (1 - x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{2}{1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.3.3.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.3.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + {(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.3.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + {(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.3.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.3.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2}{1 - x - x + 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.3.3.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.3.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.3.4

Reescribe ${(1 + x)}^{2}$ como $(1 + x) (1 + x)$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + (1 + x) (1 + x)}$

Paso 4.3.5

Expande $(1 + x) (1 + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 (1 + x) + x (1 + x)}$

Paso 4.3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)}$

Paso 4.3.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Paso 4.3.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.6.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Paso 4.3.6.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Paso 4.3.6.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x \cdot x}$

Paso 4.3.6.1.4

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x^{2}}$

Paso 4.3.6.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 2 x + x^{2}}$

Paso 4.3.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{- 2 x + x^{2} + 2 + 2 x + x^{2}}$

Paso 4.3.8

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 + 0 + x^{2}}$

Paso 4.3.9

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 + x^{2}}$

Paso 4.3.10

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

Paso 4.3.11

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2$ .

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Paso 4.3.11.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

Paso 4.3.11.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

Paso 4.3.11.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Paso 4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$