Cálculo Ejemplos

$e^{r (θ - t)} S^{- 1}$

Paso 1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)} \frac{1}{S}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Combina $e^{r (θ - t)}$ y $\frac{1}{S}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{e^{r (θ - t)}}{S}]$

Paso 2.2

Como $\frac{1}{S}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{e^{r (θ - t)}}{S}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{S} \frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)}]$ .

$\frac{1}{S} \frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = r (θ - t)$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $r (θ - t)$ .

$\frac{1}{S} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{S} (e^{u} \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $r (θ - t)$ .

$\frac{1}{S} (e^{r (θ - t)} \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Combina $e^{r (θ - t)}$ y $\frac{1}{S}$ .

$\frac{e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [r (θ - t)]$

Paso 4.2

Como $r$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $r (θ - t)$ con respecto a $t$ es $r \frac{d}{d t} [θ - t]$ .

$\frac{e^{r (θ - t)}}{S} (r \frac{d}{d t} [θ - t])$

Paso 4.3

Combina $r$ y $\frac{e^{r (θ - t)}}{S}$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [θ - t]$

Paso 4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $θ - t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [θ] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (\frac{d}{d t} [θ] + \frac{d}{d t} [- t])$

Paso 4.5

Como $θ$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $θ$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Paso 4.6

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [- t]$

Paso 4.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (- \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (- 1 \cdot 1)$

Paso 4.9

Combina fracciones.

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Paso 4.9.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \cdot - 1$

Paso 4.9.2

Combina $\frac{r e^{r (θ - t)}}{S}$ y $- 1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)} \cdot - 1}{S}$

Paso 4.9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.9.3.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $r e^{r (θ - t)}$ .

$\frac{- 1 \cdot (r e^{r (θ - t)})}{S}$

Paso 4.9.3.2

Reescribe $- 1 r$ como $- r$ .

$\frac{- r e^{r (θ - t)}}{S}$

Paso 4.9.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{r e^{r (θ - t)}}{S}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{r e^{r θ + r (- t)}}{S}$

Paso 5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{r e^{r θ - r t}}{S}$