Cálculo Ejemplos

$\frac{\tan (x) - 1}{\sec (x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \tan (x) - 1$ y $g (x) = \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1] - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $\tan (x) - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\sec (x) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Paso 3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + 0) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Paso 4.2

Suma $\sec^{2} (x)$ y $0$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Paso 5

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

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Paso 5.1.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Paso 5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 2} - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Paso 5.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Paso 6

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Paso 7

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)$ .

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Paso 7.1

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Paso 7.2

Factoriza $\sec (x)$ de $- (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Paso 7.3

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- (\tan (x) - 1) \tan (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Paso 8

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.1

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Paso 8.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Paso 8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x)}{\sec (x)}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sec^{2} (x) + (- \tan (x) - - 1) \tan (x)}{\sec (x)}$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Paso 9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.3.1.1

Multiplica $- \tan (x) \tan (x)$ .

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Paso 9.3.1.1.1

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Paso 9.3.1.1.2

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Paso 9.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Paso 9.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Paso 9.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Paso 9.3.1.3

Multiplica $\tan (x)$ por $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + \tan (x)}{\sec (x)}$

Paso 9.3.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{1 + \tan (x)}{\sec (x)}$