Cálculo Ejemplos

$\sqrt{3 x} + 2 \cos (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{3 x} + 2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x}$ como ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.2

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.3

Aplica la regla del producto a $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.4

Como $3^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.12

Combina $3^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.13

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- \sin (x))$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \sin (x)$