Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ no está definida.

$x = - \frac{5}{6}$

Paso 2

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ para obtener la asíntota horizontal.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{\frac{12 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Paso 2.2

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Paso 2.2.2.2

Divide $10$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Paso 2.2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Paso 2.2.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Paso 2.2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 10 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Paso 2.2.6

Evalúa el límite de $10$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{10 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Paso 2.2.7

Mueve el término $11$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Paso 2.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Paso 2.4

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 12 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

Paso 2.4.2

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

Paso 2.4.3

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Paso 2.6

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1.1

Multiplica $11$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Paso 2.6.1.2

Suma $10$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12 + 10 \cdot 0}$

Paso 2.6.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1

Multiplica $10$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12 + 0}$

Paso 2.6.2.2

Suma $12$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12}$

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ para obtener la asíntota horizontal.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{\frac{12 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Paso 3.2.2.2

Divide $10$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Paso 3.2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Paso 3.2.4

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Paso 3.2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Paso 3.2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 10 + lim_{x \to - \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Paso 3.2.7

Evalúa el límite de $10$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{10 + lim_{x \to - \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Paso 3.2.8

Mueve el término $11$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Paso 3.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Paso 3.4

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 12 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}$

Paso 3.4.2

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}$

Paso 3.4.3

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 3.5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Paso 3.6

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1.1

Multiplica $11$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Paso 3.6.1.2

Suma $10$ y $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12 + 10 \cdot 0}$

Paso 3.6.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.2.1

Multiplica $10$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12 + 0}$

Paso 3.6.2.2

Suma $12$ y $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12}$

Paso 3.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\sqrt{10}}{12}$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = \frac{\sqrt{10}}{12}, - \frac{\sqrt{10}}{12}$

Paso 5

Usa la división polinómica para obtener las asíntotas oblicuas. Como esta expresión contiene un radical, la división polinómica no se puede hacer.

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - \frac{5}{6}$

Asíntotas horizontales: $y = \frac{\sqrt{10}}{12}, - \frac{\sqrt{10}}{12}$

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 7