Cálculo Ejemplos

$y = 2 \sin (v^{2}) \cos (6 v)$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $2 \sin (v^{2}) \cos (6 v)$ con respecto a $v$ es $2 \frac{d}{d v} [\sin (v^{2}) \cos (6 v)]$ .

$2 \frac{d}{d v} [\sin (v^{2}) \cos (6 v)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ es $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ donde $f (v) = \sin (v^{2})$ y $g (v) = \cos (6 v)$ .

$2 (\sin (v^{2}) \frac{d}{d v} [\cos (6 v)] + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ es $f' (g (v)) g' (v)$ donde $f (v) = \cos (v)$ y $g (v) = 6 v$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $6 v$ .

$2 (\sin (v^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $6 v$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (6 v) \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $6$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $6 v$ con respecto a $v$ es $6 \frac{d}{d v} [v]$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (6 v) (6 \frac{d}{d v} [v])) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Paso 4.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v) \frac{d}{d v} [v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v) \cdot 1) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Paso 4.4

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ es $f' (g (v)) g' (v)$ donde $f (v) = \sin (v)$ y $g (v) = v^{2}$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $v^{2}$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

Paso 5.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $v^{2}$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\cos (v^{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v))) + 2 (\cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

Paso 7.2

Combina los términos.

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$- 12 (\sin (v^{2}) (\sin (6 v))) + 2 (\cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 12 \sin (v^{2}) \sin (6 v) + 4 \cos (6 v) \cos (v^{2}) v$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$- 12 \sin (v^{2}) \sin (6 v) + 4 v \cos (v^{2}) \cos (6 v)$