Cálculo Ejemplos

$y \sin (x) = x \sin (y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y \sin (x)) = \frac{d}{d x} (x \sin (y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y \cos (x) + \sin (x) y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) \cdot 1$

Paso 3.5

Multiplica $\sin (y)$ por $1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y \cos (x) + \sin (x) y' = x \cos (y) y' + \sin (y)$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $y \cos (x) + \sin (x) y'$ .

$y \cos (x) + y' \sin (x) = x \cos (y) y' + \sin (y)$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $x \cos (y) y' + \sin (y)$ .

$y \cos (x) + y' \sin (x) = x y' \cos (y) + \sin (y)$

Paso 5.3

Resta $x y' \cos (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$y \cos (x) + y' \sin (x) - x y' \cos (y) = \sin (y)$

Paso 5.4

Resta $y \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$y' \sin (x) - x y' \cos (y) = \sin (y) - y \cos (x)$

Paso 5.5

Factoriza $y'$ de $y' \sin (x) - x y' \cos (y)$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $y'$ de $y' \sin (x)$ .

$y' (\sin (x)) - x y' \cos (y) = \sin (y) - y \cos (x)$

Paso 5.5.2

Factoriza $y'$ de $- x y' \cos (y)$ .

$y' (\sin (x)) + y' (- x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$

Paso 5.5.3

Factoriza $y'$ de $y' (\sin (x)) + y' (- x \cos (y))$ .

$y' (\sin (x) - x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' (\sin (x) - x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$ por $\sin (x) - x \cos (y)$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' (\sin (x) - x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$ por $\sin (x) - x \cos (y)$ .

$\frac{y' (\sin (x) - x \cos (y))}{\sin (x) - x \cos (y)} = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $\sin (x) - x \cos (y)$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (\sin (x) - x \cos (y))}{\sin (x) - x \cos (y)} = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

Paso 5.6.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} - \frac{y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

Paso 5.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{\sin (y) - y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (y) - y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$