Cálculo Ejemplos

$y = \ln (7 x^{3} - x^{2})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (7 x^{3} - x^{2}))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 7 x^{3} - x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x^{3} - x^{2}]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - x^{2}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - x^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{3} - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.2.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{3}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.2.4

Multiplica $3$ por $7$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - (2 x))$

Paso 3.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - 2 x)$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Reordena los factores de $\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - 2 x)$ .

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{7 x^{3} - x^{2}}$

Paso 3.3.2

Factoriza $x^{2}$ de $7 x^{3} - x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $7 x^{3}$ .

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (7 x) - x^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Paso 3.3.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (7 x - 1)}$

Paso 3.3.3

Multiplica $21 x^{2} - 2 x$ por $\frac{1}{x^{2} (7 x - 1)}$ .

$\frac{21 x^{2} - 2 x}{x^{2} (7 x - 1)}$

Paso 3.3.4

Factoriza $x$ de $21 x^{2} - 2 x$ .

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Paso 3.3.4.1

Factoriza $x$ de $21 x^{2}$ .

$\frac{x (21 x) - 2 x}{x^{2} (7 x - 1)}$

Paso 3.3.4.2

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x (21 x) + x \cdot - 2}{x^{2} (7 x - 1)}$

Paso 3.3.4.3

Factoriza $x$ de $x (21 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (21 x - 2)}{x^{2} (7 x - 1)}$

Paso 3.3.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (7 x - 1)$ .

$\frac{x (21 x - 2)}{x (x (7 x - 1))}$

Paso 3.3.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (21 x - 2)}{x (x (7 x - 1))}$

Paso 3.3.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{21 x - 2}{x (7 x - 1)}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{21 x - 2}{x (7 x - 1)}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21 x - 2}{x (7 x - 1)}$