Cálculo Ejemplos

$y z = \ln (x + z)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y z) = \frac{d}{d x} (\ln (x + z))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $z$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y z$ con respecto a $x$ es $z \frac{d}{d x} [y]$ .

$z \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$z y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + z$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + z$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + z]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + z]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + z$ .

$\frac{1}{x + z} \frac{d}{d x} [x + z]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + z$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [z]$ .

$\frac{1}{x + z} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [z])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x + z} (1 + \frac{d}{d x} [z])$

Paso 3.2.3

Como $z$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $z$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x + z} (1 + 0)$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{x + z} \cdot 1$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $\frac{1}{x + z}$ por $1$ .

$\frac{1}{x + z}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$z y' = \frac{1}{x + z}$

Paso 5

Divide cada término en $z y' = \frac{1}{x + z}$ por $z$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $z y' = \frac{1}{x + z}$ por $z$ .

$\frac{z y'}{z} = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $z$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{z y'}{z} = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Paso 5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{1}{x + z} \cdot \frac{1}{z}$

Paso 5.3.2

Multiplica $\frac{1}{x + z}$ por $\frac{1}{z}$ .

$y' = \frac{1}{(x + z) z}$

Paso 5.3.3

Reordena los factores en $\frac{1}{(x + z) z}$ .

$y' = \frac{1}{z (x + z)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{z (x + z)}$