Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\sqrt{x^{2} + 4})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 4}$ como ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \ln ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Paso 4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Paso 4.8

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Paso 4.9

Mueve ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Paso 4.10

Multiplica $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 4.11

Multiplica ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.11.1

Mueve ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 4.11.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 4.11.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 4.11.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 4.11.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 4.12

Simplifica $2 {(x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 4.13

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 4.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 4.15

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x + 0)$

Paso 4.16

Simplifica los términos.

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Paso 4.16.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x)$

Paso 4.16.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2 (x^{2} + 4)}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + 4)} x$

Paso 4.16.3

Combina $\frac{2}{2 (x^{2} + 4)}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 4)}$

Paso 4.16.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.16.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 4)}$

Paso 4.16.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{x^{2} + 4}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$